2. Векторное исчисление
2.4 Смешанное произведение
Смешанное произведение $(\textbf {a},\,\textbf {b},\,\textbf {c}) $ трех векторов $ \textbf {a},\,\textbf {b},\,\textbf {c}$ из $ \textit{R}^3$ определяется следующим образом:
\[
(\textbf {a},\,\textbf {b},\,\textbf {c})=(\textbf {a},\,\left[\textbf {b},\,\textbf {c}\right]).
\]
Оно построено с помощью скалярного и векторного произведений, так что наследует их свойства.
1. Линейность по всем сомножителям.
2. $(\textbf {a},\,\textbf {b},\,\textbf {c})=(\textbf {c},\,\textbf {a},\,\textbf {b}) $,
3. $(\textbf {a},\,\textbf {b},\,\textbf {c})=-(\textbf {a},\,\textbf {c},\,\textbf {b}) $.
4. Геометрическая интерпретация: $| (\textbf {a},\,\textbf {b},\,\textbf {c})|=V_{parallelepiped}$, где
$V_{parallelepiped} $ - объем параллелепипеда, построенного по трем векторам $ \textbf {a},\,\textbf {b},\,\textbf {c}$.
Контрольный вопрос.
Докажите свойства смешанного произведения.
Решение типовых задач.
Задача 1.
Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах $\textbf {a}=(1, -1, 1)^T,\,\textbf {b}=(1, 1, 1)^T, \,\textbf {c}=(2, 3, 4)^T$.
Решение.
По свойствам смешанного произведения (геометрическая интерпретация) объем параллелепипеда, построенного на векторах
$ \textbf {a},\,\textbf {b},\,\textbf {c}$, есть модуль их смешанного произведения. То есть, другими словами, необходимо
найти модуль определителя, составленного из заданных векторов.
\[
V_{parallelepiped}= | (\textbf {a},\,\textbf {b},\,\textbf {c})|=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4
\end{array}
\right| = 4.
\]
Таким образом, объем исходного параллепипеда равен 4.
Задачи.
1. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах $\textbf {a}=(2, -3, 1)^T,\,\textbf {b}=(1, 1, 2)^T, \,\textbf {c}=(3, 1, -1)^T$.
2. Вычислить объем параллелипипеда, построенного на векторах $\textbf{2a-b+c}, \, \textbf{a+b+c}, \, \textbf{3a-b-c}$, если $(\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c}) =1$.
