3. Аналитическая геометрия на плоскости
3.3 Кривые второго порядка на плоскости
Определение. Совокупность точек $(x,y)$ на плоскости, удовлетворяющих уравнению
\begin{equation}
Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0. (1)
\label{seckr}
\end{equation}
называется кривой второго порядка.
Функция, стоящая в левой части уравнения (1), является многочленом второго порядка от переменных $x, \, y$, поэтому кривая называется кривой второго порядка.
При построении декартовой системы координат начало координат выбирается произвольным образом, и направление взаимно ортогональных осей также в определенном смысле произвольно. Поэтому возникает естественный вопрос - можно ли упростить уравнение (1) выбором системы координат? Отвечая на него, мы одновременно выясним, какими бывают кривые второго порядка на плоскости.
Теорема. Сдвигая начало координат и поворачивая оси, можно привести уравнение (1) к одному из следующих.
1. Уравнение эллипса
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, (2)
\label{ell}
\end{equation}
2. Уравнение гиперболы
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, (3)
\label{hyp}
\end{equation}
3. Уравнение параболы
\begin{equation}
y^2=2px, \quad p>0, (4)
\label{prb}
\end{equation}
4. Уравнение двух пересекающихся прямых
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0, (5)
\label{per}
\end{equation}
5. Уравнение двух параллельных прямых
\begin{equation}
y^2=a^2, \quad a \neq 0, (6)
\label{par}
\end{equation}
6. Уравнение пары совпавших прямых
\begin{equation}
y^2=0, (7)
\label{sov}
\end{equation}
7. Уравнение пары мнимых пересекающихся прямых
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0, (8)
\label{mnm}
\end{equation}
8. Уравнение мнимого эллипса
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1, (9)
\label{ellmn}
\end{equation}
9. Уравнение пары мнимых параллельных прямых
\begin{equation}
y^2=-a^2, \quad a \neq 0, (10)
\label{mnp}
\end{equation}
Доказательство.
Мы полагаем, что хотя бы один из коэффициентов $A, \, B, \, C$ не равен нулю. Покажем сначала, что поворотом системы координат можно привести уравнение (1) к виду, в котором $B=0$. Поворот системы координат реализуется заменой
\[
x=x'\cos \varphi -y'\sin \varphi, \quad y=x'\sin \varphi +y'\sin,
\]
где $ \varphi$ - угол поворота системы координат, $(x', y')$ - координаты точки в повернутой системе координат. Подставляя в (1) и выписывая только квадратичные по $x', \, y'$ слагаемые, находим уравнение кривой в новых координатах:
\[
x'^2\cdot (A\cos ^2\varphi +2B\sin \varphi \cos \varphi+C \sin ^2\varphi)+x'y'(-A\cos \varphi\sin \varphi+B(\cos^2\varphi -\sin ^2\varphi)+
\]
\[
C\sin \varphi\cos \varphi)+ y'^2(A\sin ^2\varphi -2B \sin \varphi\cos \varphi +C \cos ^2\varphi)+...=0,
\]
где многоточие означает слагаемые меньшей степени. Коэффициент при $x'y'$ можно обратить в ноль, если подобрать $\varphi $ как решение уравнения
\[
tg 2\varphi=\frac{2B}{A-C}.
\]
Это уравнение имеет решение при любой правой части, так что поворотом на соответствующий угол можно избавиться от слагаемого, пропорционального $x'y'$. Далее мы во избежание громоздкости обозначаем новые переменные как старые, опуская штрихи.
Итак, можно с помощью поворота системы координат придти к уравнению
\begin{equation}
Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0. (11)
\label{seckr1}
\end{equation}
Если $ A \neq 0$, то заменой $x'=x+D/A$ можно обратить в ноль коэффициент при $x'$, эта замена соответствует сдвигу начала координат по оси $x$ в точку $x=-D/A$. Если $C \neq 0$ , то же самое можно сделать и с переменной $y$. Разберем разные случаи.
1. $AC \neq 0$. В этом случае сдвигом по обеим осям можно привести уравнение к виду
\begin{equation}
Ax^2+Cy^2+F=0. (12)
\label{sslk}
\end{equation}
Если параметры $A, \, C$ имеют один знак, а параметр $F$ - другой, то перенося $F$ направо, и разделив на $-F$, после соответствующих переобозначений параметров получим уравнение
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,
\]
то есть уравнение (2).
Если знаки параметров $A, \, C, \, F$ совпадают, то после переобозначений параметров мы приходим к уравнению
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1,
\]
т.е. уравнению (9).
Если $F=0$, то после переобозначений в уравнении (12) получаем уравнение
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0,
\]
т.е. уравнение (8).
Рассмотрим теперь варианты уравнения (12), соответствующие случаю $AC<0$. Если при этом $F \neq 0$, то мы после переобозначений получаем уравнение
\[
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,
\]
т.е. уравнение (3). Если же при этом $F=0$, то мы получаем уравнение
\[
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0,
\]
т.е. уравнение (5).
2. Рассмотрим теперь вариант $AC=0$, для определенности, $A=0, \, C \neq 0$. В этом случае уравнение (12) приобретает вид
\[
Cy^2+2Dx+F=0.
\]
Если $D \neq 0$, то с помощью сдвига по переменной $x$ получаем уравнение (после соответствующих переобозначений)
\[
y^2=2px,
\]
т.е. уравнение параболы (4).
Если же $D=0$, то приходим к уравнению
\[
y^2=-F/C,
\]
и для разных частных случаев получаем уравнения (6), (7), (10). ч.т.д.
Из представленных выше кривых только 7 первых имеют реальные геометрические образы - последние 2 точек на плоскости не имеют. Система координат, в которых уравнение кривой совпадает с одним из представленных в теореме, называется канонической для данной кривой.
