3. Аналитическая геометрия на плоскости

1. Достаточность. Из рисунка получаем: \[ r_1=\sqrt{(x+c)^2+y^2}, \quad r_2=\sqrt{(x-c)^2+y^2}, \] так что выполняется условие (для определенности рассматриваем правую ветвь гиперболы, так что $r_1>r_2$) \[ \sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a. \] Покажем, что отсюда следует, что $(x,y)$ удовлетворяет уравнению (22). Надо избавиться от корней. Для этого перенесем один из корней направо и возведем в квадрат. Раскрывая скобки, получаем: \[ x^2+2xc+c^2+y^2=4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2xc+c^2+y^2. \] Сокращая подобные члены и деля на 4, получаем: \[ a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=xc -a^2. \] Возводя еще раз в квадрат, приходим к формуле: \[ a^2(x^2-2xc+c^2+y^2)=a^4-2a^2xc+x^2c^2. \] Сокращая еще раз подобные члены, получаем: \[ (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2). \] Подставляя $c^2=a^2+b^2$, получаем соотношение, только множителем отличающееся от соотношения (22).

2. Необходимость. Пусть выполняется (22), вычислим $r_1$. Имеем: \[ r_1=\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\sqrt{(x+c)^2+b^2-\frac{b^2x^2}{a^2}}=\sqrt{x^2+2xc+c^2+\frac{b^2x^2}{a^2}-b^2}= \] \[ \sqrt{\frac{c^2x^2}{a^2}+2xc+a^2}=a+\varepsilon x. \] Вычисление $r_2$ по этой схеме приводит к результату (имеется отличие только в одном знаке!) $r_2=\varepsilon x -a$, из свойств гиперболы следует, что в правой части - положительное число. Вычитая, получаем (23). ч.т.д. Имеется еще одно описание эллипса. Введем т.н. директрисы гиперболы - прямые $x=\pm a/\varepsilon$, см. рис. 6. В данном случае $\varepsilon >1$, так что директрисы лежат между вершинами гиперболы.

1. Достаточность. Пусть $r_2=\varepsilon d_2$. Из рисунка следует, что $d_2=a/ \varepsilon -x$, так что \[ \sqrt{(x-c)^2+y^2}=a-\varepsilon x. \] Возводя в квадрат, получаем: \[ x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2\varepsilon x+\varepsilon ^2x^2. \] Приводя подобные члены и учитывая явное выражение для $\varepsilon $, получаем: \[ \frac{b^2x^2}{a^2}+y^2=b^2. \] Это соотношение, после домножения на подходящий множитель, переходит в (22).

2. Необходимость. Пусть точка $(x,y)$ лежит на гиперболе, т.е. выполняется уравнение (22). Как было показано при доказательстве предыдущей теоремы, мы получаем $r_2=\varepsilon x -a$. Из рисунка: $d_2=x-a / \varepsilon $. Делим одно на другое - получаем (24). ч.т.д. \textit{\textbf {Пример}}. Пусть известно следующее: фокусное расстояние $c=10$, она проходит через точку $(12, \, 3\sqrt{5})$. Напишем уравнение этой гиперболы. Подставляя точку в каноническое уравнение гиперболы, получаем: \[ \frac{144}{a^2}-\frac{45}{b^2}=1, \] Обозначая $b^2=s$, получим квадратное уравнение $s^2+89s-4500=0$. Его положительное решение $s=36$. Соответственно, $a^2=100-36=64$. Таким образом, искомая гипербола имеет вид \[ \frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1, \]

Задача 1.

Написать уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот, если вещественная полуось равна $\sqrt{15}$ и гипербола проходит через точку $\textbf{M} (5,\sqrt{6})$.

Решение.

По условию $a=\sqrt{15}$. Длину мнимой полуоси найдем, подставив в каноническое уравнение гиперболы координаты точки $\textbf{M}$: \[ \frac{5^2}{15}-\frac{6}{b^2}=1 \] Отсюда $b=3$. Тогда можно записать каноническое уравнение гиперболы \[ \frac{x^2}{15}-\frac{y^2}{9}=1 \] и уравнения асимптот $y=\pm \frac{3}{\sqrt{15}}x$.

Задача 2.

Написать уравнение гиперболы с фокусами $F_1(-7;0)$ и $F_2(7;0)$, проходящей через точку $\textbf{M}(-2;12)$.

Решение.

Найдем фокальные радиусы точки $\textbf{M}$: \[ r_1 = |MF_1| = \sqrt{(-7-(-2))^2+(0-12)^2}=13, \, \] \[ r_2 = |MF_2| = \sqrt{(7-(-2))^2+(0-12)^2}=15. \] Согласно приведенной выше теореме, модуль разности фокальных радиусов равен длине большой оси гиперболы: $|r_1-r_2|=2a$, следовательно, в нашем случае имеем $|13-15|=2a$. Значит длина большой полуоси $a=1$. По условию $c=7$. Тогда из соотношения $c=\sqrt{a^2+b^2}$ выразим малую полуось - $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{49-1}=\sqrt{48}$. Запишем каноническое уравнение гиперболы \[ x^2 - \frac{y^2}{48}=1. \]

Задача 3.

Написать каноническое уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 и фокусы совпадают с фокусами эллипса $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Решение.

Найдем координаты фокусов эллипса, для них выполняется соотношение $c^2=a^2-b^2$. Т.е., в нашем случае $c^2=25-16=9$. Тогда, точки $F_1(-3;0)$ и $F_2(3;0)$ являются фокусами и эллипса и гиперболы. Эксцентриситет вычисляется по формуле $\varepsilon=\frac{c}{a}$, следовательно, $a=\frac{c}{\varepsilon} = \frac{3}{2}$. Кроме того, для гиперболы справедливо соотношение $c^2=a^2+b^2$. Тогда $b^2=c^2-a^2=9-\frac{9}{4}=\frac{27}{4}$. Таким образом, искомое уравнение гиперболы имеет вид $\frac{4x^2}{9}-\frac{4y^2}{27}=1$.

1. Написать уравнение гиперболы, полуось которой равна половине фокусного расстояния эллипса \[ \frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1, \] а фокусное расстояние гиперболы равно большой оси эллипса.

2. Написать каноническое уравнение гиперболы, если угол между ее асимптотами равен 60 градусов, и гипербола проходит через точку $(4\sqrt{3},2)$.

3. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом \[ \frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1, \] эксцентриситет которой равен 1,25.

4. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом \[ \frac{x^2}{35}+\frac{y^2}{19}=1, \] и проходящей через точку $(4\sqrt{2},3)$.

5. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точки $(6,-1)$, $(-8, 2\sqrt{2})$.

6. Вычислить фокальные радиусы для точки (-5;9/4), лежащей на гиперболе \[ \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1. \]

7. Определить угол между асимптотами гиперболы, у которой эксцентриситет равен 2.

8. Вычислить полуоси гиперболы, асимптоты которой даны уравнениями $y = \pm 2x$ и фокусы находятся на расстоянии 5 от центра.

9. На гиперболе \[ \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 \] найти точку, для которой расстояние от левого фокуса в 2 раза больше, чем расстояние от правого фокуса.

10. Через точку $(3,-1)$ провести хорду гиперболы \[ \frac{x^2}{4}-y^2=1, \] делящуюся в этой точке пополам.