4. Аналитическая геометрия в трехмерном пространстве

4.2 Кривые и поверхности в трехмерном пространстве

Кривые в трехмерном пространстве можно задавать разными способами. Можно их описывать явным образом, с помощью пары функций, \[ y=f(x), \quad z=g(x), \] для $x$, принимающем значения в некотором интервале. Можно кривую задавать параметрическим образом, с помощью соотношений \[ x=\phi (t), \quad y=\psi (t), \quad z=\eta(t) \] для фиксированных функций и $t$, принимающего значения в некотором интервале. Аналогичным образом можно задачать кривые и с помощью других систем координат. Поверхности можно задавать явным образом, \[ z=F(x,y), \] предполагая, что $(x, y)$ пробегают значения в некоторой области. Можно задавать поверхности неявным образом, как набор точек, удовлетворяющих уравнению \[ G(x,y,z)=0 \] для известной функции $G(x,y,z)$. Еще один способ - параметрическое задания поверхности. Пусть переменные $(t,s)$, принимают значения в некоторой области, тогда соотношения \[ x=f(t,s), \, y=g(t,s), \, z=h(t,s) \] для некоторых функций $ f(t,s), \,g(t,s), \, h(t,s)$ задают поверхность в трехмерном пространстве.

Можно использовать и другие (не декартовы) системы координат в трехмерном пространстве для задания поверхностей.