3. Аналитическая геометрия на плоскости

3.1 Системы координат на плоскости

В данном разделе мы представим основные объекты аналитической геометрии на плоскости. Прежде всего введем наиболее часто используемые системы координат. Саму плоскость мы представляем как двумерное пространство точек. Фиксируем одну из этих точек, назовем ее началом координат. Выпустим из этой точки взаимно-ортогональные оси (или, что то же самое, выберем пару взаимно ортогональных векторов, направляющих этих осей). Координаты точки $M$, числа $x, \, y$ , определяются как проекции отрезка $OM$ на оси. С векторной точки зрения эти числа - координаты вектора $OM$. Точке $M$ сопоставим пару чисел $(x,y)$, это сопоставление и есть декартова система координат на плоскости (см. рис. 1).

Рис 1: Декартова система координат на плоскости.

Для введения полярной системы координат выберем начальную точку $O$ на плоскости и выпустим из нее полярную ось. Соединим точку $M$ на плоскости с точкой $O$ - получим отрезок $OM$. Длину этого отрезка обозначим $\rho$, угол (отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки) обозначим $\varphi$, см. рис. 2. Сопоставление $M \leftrightarrow (\rho, \varphi )$ называется полярной системой координат.

Рис 2: Полярная система координат на плоскости.

Если начало полярной системы координат совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось совпадает с положительным направлением оси $X$ декартовой системы координат, то нетрудно связать декартовы и полярные координаты. Соотношения \[ x=\rho \cos \varphi, \quad y=\rho \sin \varphi, \] выражают декартовы координаты через полярные координаты в этом случае, соотношения \[ \rho =\sqrt{x^2+y^2}, \quad \varphi =arctg(y/x), \] описывают обращение этих соотношений.