4. Аналитическая геометрия на плоскости
4.5 Взаимное расположение прямой и плоскости в трехмерном пространстве
Каково может быть взаимное расположение прямой и плоскости в трехмерном пространстве? Из простых геометрических соображений следует, что возможны следующие варианты.
1. Прямая пересекает плоскость в одной точке.
2. Прямая параллельна плоскости - нет точек пересечения.
3. Прямая лежит на плоскости.
Как узнать, какой из вариантов реализуется, если заданы уравнения прямой и плоскости? Пусть прямая задана как результат пересечения двух плоскостей,
\[
A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0, \quad A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,
\]
плоскость задана общим уравнением
\[
A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0.
\]
Если мы объединим эти уравнения в одну систему (линейную!) относительно переменных $x,\, y,\, z$, то полученную систему уравнений можно понимать как систему уравнений для точек пересечения прямой и плоскости. Пусть $K$ - матрица коэффициентов этой системы уравнений, $ \widehat{K}$ - расширенная матрица системы. Вычислим ранги этих матриц, $n= rank K$, $\widehat{n}= rank \widehat{K}$. Если $n \neq \widehat{n}$, то, согласно теореме Кронекера-Капелли из курса линейной алгебры, система уравнений решений не имеет - прямая и плоскость не пересекаются, они параллельны. Если же $n = \widehat{n}$, то система уравнений совместна по той же теореме. При этом если $n=3$, имеется только 1 решение системы уравнений - прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Если $n=2$, то согласно общим теоремам линейной алгебры, система уравнений имеет решения, параметризованные 1 свободным параметром, т.е. прямая лежит на плоскости.
Контрольный вопрос.
Почему (с точки зрения линейной алгебры) нет других вариантов?
Решение типовых задач.
Задача 1.
Пирамида \textbf{SABC} задана вершинами $\textbf{S}(4,2,6)$, $\textbf{A}(4,1,-2)$, $\textbf{B}(2,0,0)$, $\textbf{C}(-2,3,-5)$. Найти уравнение плоскости, на которой лежит грань $\textbf{ABC}$; уравнение высоты, опущенной из вершины $\textbf{S}$ на грань $\textbf{ABC}$, ее длину, а также точку пересечения этой прямой с плоскостью $\textbf{ABC}$.
Решение.
Уравнение плоскости построим согласно формуле (34):
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
x- 4 &y- 1 & z- (-2) \\
2-4 &0- 1 &0- (-2) \\
-2- 4 &3- 1 &-5- (-2)
\end{array}
\right| = 0.
\]
После вычисления определителя и приведения подобных слагаемых, получим
\[
x +18y + 10z +2=0.
\]
Уравнение высоты, опущенной из вершины $\textbf{S}$ на грань $\textbf{ABC}$, есть уравнение прямой, перпендикулярной найденной плоскости и проходящей через точку $\textbf{S}$.
Нормаль к плоскости является направляющим вектором прямой, следовательно, высота определяется вектором $ \textbf{n}(1,18,10)$ и точкой $\textbf{S}(4,2,6)$. Теперь можем записать каноническое уравнение прямой:
\[
\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{18}=\frac{z-6}{10}.
\]
Длина высоты соответствует расстоянию от заданной точки до плоскости и вычисляется по формуле
\[
p= \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=
\frac{|1\cdot 4 +18\cdot 2 +10\cdot 6 +2|}{\sqrt{1^2+18^2+10^2}}=
\frac{102}{\sqrt{425}}=\frac{6\sqrt{17}}{5}.
\]
Наконец, чтобы найти точку пересечения прямой $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{18}=\frac{z-6}{10}$ и плоскости $x +18y + 10z +2=0$, запишем уравнение прямой в параметрическом виде:
\[
x-4=t, y-2=18t, z-6=10t
\]
или
\[
x=t+4, y=18t+2, z=10t+6
\]
Подставив эти выражения в уравнение плоскости, найдем значение параметра $t$:
\[
11\cdot (t+4) +18\cdot (18t+2) + 10\cdot (10t+6) +2=0.
\]
Отсюда $t=-\frac{6}{25}=-0.24$. Теперь подставив этот значение в параметрическое уравнение прямой, найдем искомые координаты:
\[
x=-0.24+4, y=18\cdot -0.24 +2, z=10\cdot -0.24 +6
\]
или $\left( 3.76, -2.32, 3.6 \right)$.
Задачи.
1. Найти точку пересечения прямой
\[
\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}
\]
и плоскости $3x+5y-z-2=0$.
2. Дан тетраэдр $A(-1, 2, 5)$, $B(0, -4, 5)$, $C(-3, 2, 1)$, $D(1, 2, 4)$. Написать уравнение плоскости, проходящей через вершину D и перпендикулярной стороне BC.
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку $(1, 4, 4)$ и прямую $4x-3y+5z+6=0, 2x+y-z-2=0$.
4. Проверить, лежит ли прямая $(x + 2)/3=(y - 5)/4=z$ на плоскости $3x -2y - z+15 = 0$.
5. Через прямую $3x+2y+z+1=0, x+2y+5z+3=0$ провести плоскость, перпендикулярную плоскости $x-2y+z+7=0$.
6. Найти угол между плоскостью $ 4x+4y-7z+1=0$ и прямой $x+y+z+1=0, 2x+y+3z+2=0$.
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OZ параллельно вектору $P=(1, -2, 3)^T$.
8. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
\[
\frac{x-3}{2}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-2}{-3}
\]
и параллельной прямой
\[
\frac{x+5}{4}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-1}{2}.
\]
9. Проверить, лежит ли прямая
\[
\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z+2}{5}
\]
на плоскости $4x+3y-z+3=0$.
10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку $(1, 4, 4)$ и прямую $4x-3y+5z+6=0, \,2x+y-z-2=0$.
11. Даны координаты вершин пирамиды $A(3,5,4), \, B(8,7,4), \, C(5,10,4), \, D(4,7,8)$. Написать уравнение высоты, опущенной из вершины $D$ на грань $ABC$.
12. Даны точки $A(4,-5,2)$ и $B(-2,3,2)$. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка $AB$ перпендикулярно ему.
13. Через линию пересечения плоскостей $4x-y+3z-1=0$ и $x+5y-z+2=0$ провести плоскость,
а) проходящую через начало координат;
б) параллельную оси $y$.
