2. Векторное исчисление

2.2 Скалярное произведение

2.1 Векторное пространство 2.3 Векторное произведение

Скалярное (стандартное) произведение двух векторов задается соотношением $ ( \textbf{r}_1, \textbf{r}_2 )=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$. Длина вектора $\textbf {r}$ определяется выражением $|\textbf{r}|=\sqrt{( \textbf{r}, \textbf{r})}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Угол между векторами $\textbf {r}_1=(x_1,\,y_1,\,z_1)^T$, $\textbf {r}_2=(x_2,\,y_2,\,z_2)^T$ определяется соотношением

\[ \cos \phi = \frac{( \textbf{r}_1, \textbf{r}_2 )}{|\textbf{r}_1|\cdot |\textbf{r}_2|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}\,. \]

Напомним основные свойства скалярного произведения.

1. Симметричность, $(\textbf {u},\textbf {v})=(\textbf {v},\textbf {u})$ для любых векторов $\textbf {u},\textbf {v}$.

2. Линейность по обоим сомножителям: $(\lambda \textbf {u},\textbf {v})=\lambda (\textbf {u},\textbf {v})$,

$(\textbf {u}_1+\textbf {u}_2,\textbf {v})=(\textbf {u}_1,\textbf {v})+(\textbf {u}_2,\textbf {v})$ для любых чисел $\lambda$ и любых векторов

$\textbf {u}, \,\textbf {v},\,\textbf {u}_1, \, \textbf {u}_1$, то же для второго сомножителя.

3. $ (\textbf {u},\textbf {u}) \geq 0$, причем $ (\textbf {u},\textbf {u}) = 0$ $ \leftrightarrow$ $ \textbf {u}=\textbf {0} $.

4. Неравенство Коши-Буняковского: $ |( \textbf {u},\textbf {v})|\leq |\textbf {u}|\cdot |\textbf {v}|$ для любых $\textbf {u},\,\textbf {v}$.

Пример.

Контрольный вопрос.

Решение типовых задач.

Задачи.