2. Векторное исчисление

2.1 Векторное пространство

В данном разделе обсуждается понятие векторного (иногда его называют линейным) пространства. Основные определения были даны в курсе линейной алгебре и здесь мы вкратце повторим их, имея в виду приложения в аналитической геометрии.

Определение. Множество $ \mathfrak{L}$ называется векторным пространством, а его элементы ${0} \in \mathfrak{L}$ - векторами, если для его элементов заданы 2 операции: сложение элементов (обозначается знаком $+$) и умножение элемента на вещественные числа $c \in \mathbb{R}$, так что справедливы следующие соотношения, которые выполняются для всех элементов $ \textbf {u}_1,\, \textbf {u}_2 \in \mathfrak{L}$ и любых чисел $c,\, c_1, \, c_2\in \mathbb{R}$:

1. $\textbf {u}_1+\textbf {u}_2=\textbf {u}_2+\textbf {u}_1,$

2. $\textbf {u}_1+(\textbf {u}_2+\textbf {u}_3)=(\textbf {u}_1+\textbf {u}_2)+\textbf {u}_3,$

3. $c(\textbf {u}_1+\textbf {u}_2)=c\textbf {u}_1+c\textbf {u}_2$,

4. $c_1(c_2\textbf {u})=(c_1c_2)\textbf {u}$,

5. $1\cdot \textbf {u}=\textbf {u}$,

6. cуществует нулевой элемент $\textbf {0} \in \mathfrak{L}$ такой, что $\textbf {0}+\textbf {u}=\textbf {u}, 0\cdot \textbf {u}=\textbf {0}, c\cdot \textbf {0}=\textbf {0}$.

Пример.

В курсе линейной алгебры были даны определения линейной зависимости и линейной независимости векторов, базиса векторного пространства, координат вектора в заданном базисе, линейных операторов, скалярного произведения векторов и выражения этих объектов при фиксированном базисе. В аналитической геометрии обычно обсуждают 2 или 3 -мерные векторные пространства, так что векторами можно считать 2-столбцы или 3-столбцы соответственно (их следует писать в виде столбцов, по типографским соображениям их записывают в виде $(x, \, y )^T$ или $(x, \, y, \, z )^T$ соответственно). Числа $x,\,y,\,z$ - вещественные, они называются координатами вектора. Такое вещественное пространство обозначают $ \textit{R}^2$ (соответственно, $ \textit{R}^3$). В качестве стандартного базиса 3-мерного векторного пространства полагают набор векторов $\{ \textbf {i,\, j,\, k} \}$, причем вектора эти имеют единичную длину и ортогональны друг другу (в 2-мерном случае в качестве базиса выбирают первые два вектора). Соответственно, эти вектора полагаются направляющими векторами осей $x, \, y,\,z$, так что вектора записываются тройками (парами) чисел $\textbf {r}= x \textbf {i}+y\textbf {j}+z\textbf {k}=(x,\,y,\,z)^T$, $\textbf {i}=(1,\,0,\,0)^T $, $\textbf {j}=(0,\,1,\,0)^T $, $\textbf {k}=(0,\,0,\,1)^T $. 2-мерное пространство можно считать подпространством 3-мерного, а именно, его составляют вектора, для которых $z=0$.

Контрольный вопрос.

Векторному пространству ${R}^3$ можно сопоставить некоторое множество точек (которое также называют трехмерным пространством). Фиксируем в этом множестве точку (назовем ее началом координат, точкой $O$), выпустим из этой точки три оси, перпендикулярные друг другу (назовем их осями $x, \, y\, z$) и отложим вдоль первой оси число $x$, вдоль второй - число $y$, вдоль третьей - число $z$. Точку $M$, которая будет иметь эти координаты, мы сопоставим вектору $(x,\,y,\,z)^T$. На "геометрическом" языке мы "приложили" к точке $O$ вектор $\textbf {r}=(x,\,y,\,z)^T$, так что конец этого вектора находится в точке $M$. Этим соответствием между векторами и точками мы будем часто пользоваться в дальнейшем, переходя с языка "точек" на язык векторов и обратно. Это соответствие можно продолжить, сопоставляя паре точек $M=(x_1,y_1,z_1)$ и $N=(x_2,y_2,z_2)$ вектор $\textbf {r}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)^T$ - который начинается в точке $M$ и заканчивается в точке $N$, выражаясь в "школьных" терминах.

Решение типовых задач.

Задачи.