2. Векторное исчисление

2.3 Векторное произведение

2.2 Скалярное произведение 2.4 Смешанное произведение

В $\textit{R}^3$ , кроме скалярного произведения, есть еще одна бинарная (т.е. с двумя аргументами) операция - векторное умножение.

Определение. Для двух векторов $\textbf {r}_1, \, \textbf {r}_2 \in \textit{R}^3$, $\textbf {r}_k=(x_k,\,y_k,\,z_k)^T$, $k=1,2$, их векторным произведением называется вектор \[ \textbf{w}= \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2& y_2 & z_2 \\ \textbf {i} & \textbf {j} & \textbf {k} \end{array} \right|\, , \] где в правой части стоит "правило вычисления", записанное в виде формального определителя порядка 3.

Результат векторного произведения обозначают $\textbf{w}=\left[ \textbf {r}_1, \, \textbf {r}_2\right]$.Определитель в правой части можно раскрыть и в явном виде записать \[ \textbf{w}=\left ( y_1z_2-z_1y_2 \right )\textbf {i}+\left ( z_1x_2-x_1z_2 \right )\textbf {j}+\left ( x_1y_2-y_1x_2 \right )\textbf {k}\, , \] однако исходная формула компактнее и легче запоминается. Непосредственно из определения следуют свойства векторного произведения.

1. Линейность по сомножителям (следует из линейности по строке определителя, мы выписываем для первого сомножителя, для второго - пишется аналогично, $ c_1, \, c_2 $ - произвольные числа): \[ \left[ c_1\textbf {r}_1+c_2 \textbf {r}_2, \, \textbf {r}_3 \right]=c_1\left[ \textbf {r}_1, \, \textbf {r}_3\right] +c_2 \left[ \textbf {r}_2, \, \textbf {r}_3\right]. \]

2. Антисимметричность (определитель меняет знак при перестановке строк): \[ \left[ \textbf {r}_1, \, \textbf {r}_2\right]=-\left[ \textbf {r}_2, \, \textbf {r}_1\right]. \]

3. Геометрическая интерпретация: $ |\left[\textbf {u},\,\textbf {v} \right]|=S_{parallelogramm} =2S_{treug}$, где $S_{parallelogramm}$ - площадь параллелограмма, построенного по векторам $ \textbf {u},\,\textbf {v}$, $ S_{treug}$ - площадь треугольника, две стороны которого - вектора $ \textbf {u},\,\textbf {v}$.

Контрольный вопрос.

Решение типовых задач.

Задача 1.

Даны вектора $\textbf{a}=(2,0,-3)^T,\, \textbf{b}=(1,2,1)^T$. Найти вектора $\textbf{c}=[\textbf{a},\textbf{b}]$, $\textbf{d}=[\textbf{b},\textbf{a}]$, $\textbf{f}=[\textbf{a+b},\textbf{2b}]$.

Решение.

Найдем искомые вектора, пользуясь определением векторного произведения: \[ \textbf{c}= \left[\textbf {a},\,\textbf {b} \right] = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -3 \\ 1& 2 & 1 \\ \textbf {i} & \textbf {j} & \textbf {k} \end{array} \right| = \] \[ =( 0 \cdot 1 -(-3)\cdot 2)\textbf{i} + (-3)\cdot 1 - 2\cdot 1 )\textbf{j} + ( 2 \cdot 2 - 0 \cdot 1)\textbf {k} = (6, -5, 4)^T \] Аналогично \[ \textbf{d}= \left[\textbf {b},\,\textbf {a} \right] = \left| \begin{array}{ccc} 1& 2 & 1 \\ 2 & 0 & -3 \\ \textbf {i} & \textbf {j} & \textbf {k} \end{array} \right| = \] \[ =( 2 \cdot(-3) - 1\cdot 0)\textbf{i} + (1\cdot 2 -1\cdot(-3))\textbf{j} + ( 1 \cdot 0 - 2 \cdot 2)\textbf {k} = (-6, 5, -4)^T \] Для нахождения вектора $\textbf{f}$ предварительно найдем вектора $\textbf{a+b} = (2,0,-3)^T + (1,2,1)^T = (3,2,-2)^T$ и $\textbf{2b} = 2\cdot (1,2,1)^T = (2,4,2)^T$. Теперь, аналогично предыдущему, по определению векторного произведения, находим: \[ \textbf{f}= \left[\textbf {a+b},\,\textbf {2b} \right] = \left| \begin{array}{ccc} 3& 2 & -2 \\ 2 & 4 & 2 \\ \textbf {i} & \textbf {j} & \textbf {k} \end{array} \right| = \] \[ =( 2 \cdot 2 - (-2)\cdot 4)\textbf{i} + ((-2)\cdot 2 - 3 \cdot 2)\textbf{j} + ( 3 \cdot 4 - 2 \cdot 2)\textbf {k} = (12, -10, 8)^T \]

Задача 2.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $\textbf{a}=(6,3,-2)^T, \quad \textbf{b}=(3,-2,6)^T$.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся геометрической интерпретацией векторного произведения (см. третье свойство). Она означает, что площади параллелограмма, построенного на векторах $ \textbf {a},\,\textbf {b}$ есть длина вектора, равного их векторному произведению, то есть $ S_{parallelogramm} = |\left[\textbf {a},\,\textbf {b} \right]|$. Найдем векторное произведение векторов $ \textbf {a},\,\textbf {b}$, \[ \textbf{f}= \left[\textbf {a},\,\textbf {b} \right] = \left| \begin{array}{ccc} 6 & 3 & -2 \\ 3 & -2 & 6 \\ \textbf {i} & \textbf {j} & \textbf {k} \end{array} \right| = (14, -42, -21)^T . \] Теперь найдем длину этого вектора, $ |\left[\textbf {a},\,\textbf {b}\right]| = \sqrt{14^2+(-42)^2+(-21)^2} = 49$.

Задачи.