Глава 4
 

5. Поверхности в трехмерном пространстве

5.1 Поверхности вращения

 

Если мы возьмем какую-нибудь линию в трехмерном пространстве и начнем вращать ее вокруг какой-нибудь оси, линия заметет поверхность. Такие поверхности называются поверхностями вращения. Рассмотрим, например, линию $\varphi(x,z)=0$ в плоскости $(x,z)$, и начнем ее вращать вокруг оси $z$. Выпишем уравнение такой поверхности (см. рис. 16).

 

Рис 16: Линию $\varphi(x,z)=0 $ в трехмерном пространстве вращается вокруг оси $z$ и образует двумерную поверхность вращения.

 

При вращении точки вокруг оси $z$ сохраняется ее расстояние до оси $z$, равное для начальной точки $x$. Таким образом, это расстояние становится радиусом окружности, по которой движется точка. Обозначим этот радиус $r$. В плоскости $(x,\,y)$ этот радиус равен $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Таким образом, уравнение поверхности вращения, возникающей в этом процессе, записывается в виде

\begin{equation} \varphi(\sqrt{x^2+y^2},z)=0. (40) \label{vrash} \end{equation}

Аналогичным образом можно построить уравнения поверхностей, возникающих при вращении кривых вокруг других осей.

 

Пример.

Рассмотрим кривую в плоскости $(x,z)$, заданную уравнением $x^2+z^2-1=0$. Это окружность радиуса 1. При вращении ее вокруг оси $z$ получаем сферу, уравнение для которой получается в результате замены $x \rightarrow \sqrt{x^2+y^2}$. Подставляя, получаем уравнение единичной сферы $x^2+y^2+z^2-1=0$.

  

Контрольный вопрос.

Выпишите уравнение поверхностей, возникающих при вращении кривых вокруг осей $x$, $y$.