5. Высшие производные

5.3 Теорема Тейлора

5.2 Определение и свойства дифференциалов высших порядков 5.4 Формула Тейлора для некоторых функций

Теорема. Пусть функция $f(x)$ имеет на интервале $(a,b)$ непрерывные производные порядка вплоть до $N+1$, точка $x_0 \in (a,b)$. Тогда для любого $x \in (a,b)$ существует точка $\xi $, лежащая между $x$ и $x_0$ такая, что выполняется равенство \begin{equation} f(x)=\sum _{k=0}^N\frac{f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k}{k!}+ \label{tay} \end{equation}

\[ \frac{f^{(N+1)}(\xi)(x-x_0)^{N+1}}{(N+1)!}. (12) \]

Величина \[ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(\xi)(x-x_0)^{N+1}}{(N+1)!} \] называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Есть иные формулировки теоремы Тейлора, для которых остаточный член имеет несколько отличную форму.

Точку $x_0$ называют опорной точкой формулы Тейлора. Если $x_0=0$, формулу Тейлора называют формулой МакЛорена.

В приложениях формулу Тейлора используют следующим образом. Если остаточный член по каким-то причинам мал, так что его величиной можно пренебречь, то из формулы Тейлора можно извлечь приближенное аналитическое описание функции. Заметим, что величина $(N+1)!$ быстро растет с увеличением $N$, так что если высшие производные функции ограничены, остаточный член может быть сделан выбором $N$ достаточно малым.

Замечание. Если обозначить $x-x_0=\Delta x$, то нетрудно заметить, что в правой части формулы Тейлора под знаком суммы в числителях стоят дифференциалы функции $f(x)$ порядка $k$.

Пример.

Задачи.

5.2 Определение и свойства дифференциалов высших порядков 5.4 Формула Тейлора для некоторых функций

1. Введение

+2. Основные структуры

3. Пределы. Непрерывные функции +

4. Производная, дифференциальное исчисление+

5. Высшие производные+

6. Приложения дифференциального исчисления+

7. Первообразная (неопределенный интеграл)+

8. Техника вычисления первообразных+

9. Определенный интеграл+

10. Несобственные интегралы+

11. Интегралы зависящие от параметра+

12. Приложения определенных интегралов+

5. Высшие производные

5.3 Теорема Тейлора