1. Введение
2. Основные структуры
- 2.1 Элементы теории множеств
- 2.2 Операции с множествами
- 2.3 Функции и способы их задания
- 2.4 Числовые последовательности
3. Пределы. Непрерывные функции
- 3.1 Предел последовательности
- 3.1.1 Определения
- 3.1.2 Арифметика пределов
- 3.1.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.1.4 Признаки существования пределов
- 3.1.5 Вычисление пределов
- 3.1.6 Замечательный предел
- 3.2 Функции непрерывной переменной
- 3.2.1 Определения
- 3.2.2 Арифметика пределов
- 3.2.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.2.4 Признаки существования пределов
- 3.2.5 Замечательные пределы
- 3.2.6 Список важнейших предельных соотношений
- 3.3 Непрерывные функции
- 3.3.1 Определения
- 3.3.2 Основные свойства
- 3.3.3 Разрывы функции
4. Производная, дифференциальное исчисление
- 4.1 Производная
- 4.1.1 Определение производной
- 4.1.2 Производная от элементарных функций
- 4.1.3 Производная от суммы, произведения и частного функций
- 4.1.4 Производные от сложной функции, от обратной функции, от функции, заданной параметрически
- 4.1.5 Таблица производных
- 4.2 Первый дифференциал
- 4.2.1 Определение и основные свойства первого дифференциала
- 4.2.2 Геометрический смысл первого дифференциала
- 4.2.3 Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала
- 4.3 Свойства дифференцируемых функций
- 4.4 Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей
5. Высшие производные
- 5.1 Определение и свойства высших производных
- 5.2 Определение и свойства дифференциалов высших порядков
- 5.3 Теорема Тейлора
- 5.4 Формула Тейлора для некоторых функций
6. Приложения дифференциального исчисления
- 6.1 Монотонность функции и знак ее производной
- 6.2 Достаточное условие локального максимума/минимума
- 6.3 Решение задачи о глобальном максимуме/минимуме функции на замкнутом отрезке
- 6.4 Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба
7. Первообразная (неопределенный интеграл)
- 7.1 Определение и основные свойства первообразных
- 7.2 Таблица основных первообразных
- 7.3 Интегрирование по частям
- 7.4 Замена переменной в первообразной
8. Техника вычисления первообразных
- 8.1 Интегралы от дробно-рациональных функций
- 8.1.1 Полиномы, основные свойства
- 8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства
- 8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций
- 8.1.4 Вычисление первообразной от дробно-рациональной функции
- 8.2 Интегралы от тригонометрических функций
- 8.3 Интегралы от функций, содержащих иррациональности
- 8.4 Подстановки Эйлера
- 8.5 "Неберущиеся" интегралы
9. Определенный интеграл
- 9.1 Определение
- 9.2 Геометрический смысл определенного интеграла
- 9.3 Основные свойства
- 9.4 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.4.1 Интеграл как функция верхнего предела
- 9.4.2 Формула Барроу
- 9.4.3 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.5 Интегрирование по частям в определенном интеграле
- 9.6 Замена переменной в определенном интеграле
10. Несобственные интегралы
- 10.1 Несобственные интегралы 1 рода
- 10.1.1 Определение и основные свойства
- 10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода
- 10.2 Несобственные интегралы 2 рода
- 10.2.1 Определение и основные свойства
- 10.2.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода
11. Интегралы зависящие от параметра
12. Приложения определенных интегралов
12. Приложения определенных интегралов
12.4 Приложения в механике
С помощью определенного интеграла выражаются многие механические характеристики распределенных в пространстве объектов - такие, как масса, работа заданных сил, кинетическая энергия тела, момент инерции тела, координаты центра масс и т.д.
1. Положение центра масс нити с заданной плотностью.
Пусть в 3-мерном пространстве задана нить $x=x(t), \, y=y(t), \, z=z(t)$, $t \in [t_1,t_2]$, причем линейная плотность нити задается функцией $\rho (t)$. Определим положение центра масс - вычислим его координаты. Для этого разобъем нить на малые кусочки и заменим каждый такой кусочек звеном ломаной, которому соответствует подинтервал переменной $t$, $[t_k, t_k+\Delta t_k]$. Длина этого звена ломаной $\Delta s_k=\sqrt{(\Delta x_k)^2+(\Delta y_k)^2+(\Delta z_k)^2}$, а масса $\Delta m_k=\rho (\widetilde{t_k})\sqrt{(x'(\widetilde{t_k}))^2+(y'(\widetilde{t_k}))^2+(z'(\widetilde{t_k}))^2}\Delta t_k$, здесь мы использовали формулу Лагранжа для интервала $[t_k, t_k+\Delta t_k]$, $\widetilde{t_k} \in [t_k, t_k+\Delta t_k] $. Умножая на значение координаты $x(\widetilde{t_k})$, и суммируя по $k$, получаем интегральную сумму. Переходя к пределу в этой интегральной сумме (уменьшая максимальный интервал разбиения), получаем, что положение $x$-координаты центра массы, $x_c$, определяется из условия
\[ Mx_c=\int_{t_1}^{t_2}x(t)\rho(t)\sqrt{(x'(t_k))^2+(y'(t_k))^2+(z'(t_k))^2}dt, \]где интеграл является пределом построенной выше интегральной суммы,
\[ M=\int_{t_1}^{t_2}\rho(t)dt \]- масса нити. В итоге:
\[ x_c=\frac{\int_{t_1}^{t_2}x(t)\rho(t)\sqrt{(x'(t_k))^2+(y'(t_k))^2+(z'(t_k))^2}dt}{\int_{t_1}^{t_2}\rho(t)dt}. \]Выражения для $y_c, \, z_c$ выглядят аналогично, следует заменить букву $x$ на $y, \,z$ соответственно.
2. Момент инерции нити с заданной плотностью относительно заданной оси.
Рассмотрим нить, заданную на плоскости уравнением $y=f(x)$, c плотностью $\rho (x)$, причем $x \in [a, \, b]$. Вычислим ее момент относительно оси $x$.
![](5.png)
Рис 12: Момент инерции массивной нити.
Выделим на нити один кусочек, такой, что его левый край соответствует точке $x=x_k$, а правый - точке $x=x_k+\Delta x$, заменим этот кусочек отрезком ломаной, и вычислим момент инерции этого отрезка ломаной относительно оси $x$. Масса этого кусочка равна $\rho (x) \Delta s$, где $\Delta s$ - длина этого звена ломаной. Расстояние до оси $x$ приблизительно равно $y_k=f(x_k)$, так что момент инерции этого звена ломаной относительно оси $x$ равен
\[ \Delta I_k=f^2(x_k)\rho (x) \Delta s=f^2(x_k)\rho (x) \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}= \] \[ f^2(x_k)\rho (x) \sqrt{1+( f'(\widetilde{x_k}))^2}\Delta x, \]где $\widetilde{x_k} \in [x_k, x_k+\Delta x]$, и мы использовали формулу Лагранжа для $f(x)$ на интервале $ [x_k, x_k+\Delta x]$. Суммируя по всем кусочкам и переходя к пределу в этой интегральной сумме (уменьшая максимальный интервал разбиения), получим:
\[ I=\int _a^bf^2(x)\rho (x)\sqrt{1+( f'(x))^2}dx. \]Задачи.