3. Пределы. Непрерывные функции

3.3.1 Определения

Обсуждаются функции вещественной переменной, заданные на некотором интервале вещественной оси $(a,b) \subset \mathbb{R}$.

Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0 \in (a,b)$, если

1. Имеется конечный предел \[ A=\lim _{x \rightarrow x_0}f(x) . \]

2. Этот предел совпадает со значением функции $f(x)$ в точке $x_0$, $A=f(x_0)$.

Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0 \in (a,b)$ слева, если

1. Имеется конечный предел \[ A=\lim _{x \rightarrow x_0-0}f(x) . \]

2. Этот предел совпадает со значением функции $f(x)$ в точке $x_0$, $A=f(x_0)$.

Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0 \in (a,b)$ справа, если

1. Имеется конечный предел \[ A=\lim _{x \rightarrow x_0+0}f(x) . \]

2. Этот предел совпадает со значением функции $f(x)$ в точке $x_0$, $A=f(x_0)$.

Теорема. Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0 \in (a,b)$ тогда и только тогда, когда она одновременно непрерывна слева и справа в этой точке.

Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной на интервале $(a,b)$, если она непрерывна в любой точке этого интервала.

Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной на интервале $\left[a,b\right]$, если она непрерывна в любой точке интервала $(a,b)$, в точке $a$ непрерывна справа, а в точке $b$ непрерывна слева.

3.3.2 Основные свойства

С помощью арифметики пределов нетрудно доказать соответствующие свойства непрерывных функций.

Если функции $f(x)$, $g(x)$ непрерывны в точке $x_0$, то

1. Функция $f(x)+g(x)$ непрерывна в точке $x_0$,

2. Функция $f(x)\cdot g(x)$ непрерывна в точке $x_0$,

3. Если при этом $g(x_0)\neq 0$, то функция $\frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна в точке $x_0$.

Теорема. Любая элементарная функция непрерывна в тех точках, где она не обращается в бесконечность.

Теорема. Если $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, функция $g(y)$ непрерывна в точке $y_0=f(x_0)$, то сложная функция $h(h)=g(f(x))$ непрерывна в точке $x_0$.

Теорема. Пусть $f(x)$ непрерывна на интервале $\left [a,b\right ]$. Тогда существуют конечные числа $m$ и $M$ со следующими свойствами.

1. Для всех $x \in \left [a,b\right ]$ выполняются неравенства: $ m \leq f(x) \leq M $.

2. Существуют точки $ x_1,x_2 \in \left [a,b\right ] $ такие, что $ f(x_1)=m $, $ f(x_2)=M $.

3. Для любого числа $ C $, удовлетворяющего неравенству $ m < C < M $ существует точка внутри интервала $ x_C \in \left [a,b\right ] $ такая, что $ f(x_C)=C $.

Число $m$ называется глобальным минимумом функции $f(x)$ на интервале $\left [a,b\right ]$ (наименьшим значением), Число $m$ называется глобальным максимумом функции $f(x)$ на интервале $\left [a,b\right ]$ (наибольшим значением). Теорема, в частности, утверждает, что на интервале $\left [a,b\right ]$ существует решение уравнения $f(x)=C$ для любого $C$, $m \leq C \leq M$.

3.3.3 Разрывы функции

Нарушение того или иного условия, фиксирующего непрерывность функции в точке $x_0$, приводит к появлению особенности в локальном поведении функции в данной точке.

Определение. Если существует конечный предел $A=\lim _{x \to x_0} f(x)$, причем $A \neq f(x_0)$, точка $x=x_0$ называется устранимой особой точкой функции $f(x)$.

Устранимую особую точку можно "исправить", определив $f(x)=A$, так что точка $x_0$ становится точкой непрерывности "исправленной" $f(x)$.

Определение. Если существуют конечные левые и правые пределы $f(x)$ в точке $x_0$, но они не совпадают, точка $x_0$ называется точкой \textbf{разрыва первого рода} функции $f(x)$.

Пример.

Определение. Если существуют левый и правый пределы функции $f(x)$ в точке $x=x_0$, причем хотя бы один из них бесконечен, точка $x=x_0$ называется точкой \textbf{разрыва второго рода} функции $f(x)$.

Пример.

Задачи.