Функции и способы их задания

Задачи.

1. В круговой конус высоты $H$ с радиусом основания $R$ вписан цилиндр (образующая цилиндра при этом полагается параллельной оси конуса). Определить площадь боковой поверхности и объем цилиндра как функции радиуса цилиндра $r$. Найти области определения этих функций.

2. Пусть функция $f(x)$ имеет областью определения интервал $(0,1)$. Найти области определения функций $f(x^2)$, $f(\sin x)$, $f(\ln x)$.

3. Показать, что суперпозиция двух дробно-линейных функций \[ f(x)=\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}, \quad x=\phi (t)=\frac{c_t+d_1}{c_2t+d_2} \] является дробно-линейной функцией и найти выражение для ее коэффициентов.

4. Найти обратные функции и построить их графики для функций

a) $$f(x)=\frac{8+x^3}{8-x^3}$$

б) $$f(x)=\sqrt{x-4}$$

Предел последовательности. Замечательный предел

Задачи.

Вычислить пределы $a_n$ при $n \rightarrow +\infty$.

1. \[ a_n=\frac{(2n^3-3n+1)^{1/3}}{2n-7}. \]

2. \[ a_n=\frac{(20n^2+3)^{1/3}}{2n+5}. \]

3. \[ a_n=\frac{(n+1)^3-(n-1)^3}{n^2+7n+1}. \]

4. \[ a_n=\frac{(n+2)!-n!}{(n+1)!}. \]

5. \[ a_n=\frac{(n^5+1)^{1/3}-(n^2+5)^{1/2}}{(n^4+3)^{1/2}-2}. \]

6. \[ a_n=\frac{1+2+3+...+n}{n+1}-\frac{n+1}{2} \]

Функции непрерывной переменной. Список важнейших предельных соотношений

Задачи.

Вычислить пределы.

1. \[ \lim _{x \rightarrow 0 } \frac{ 3x^3-2x+1}{10x^4-2x^3+2}. \]

2. \[ \lim _{x \rightarrow 1 } \frac{x^3-1}{x^4+3x^2-1}. \]

3. \[ \lim _{x \rightarrow -1 } \frac{x^2+4x-1}{x^3+1}. \]

4. \[ \lim _{x \rightarrow 0 } \frac{(1-2x)^{1/4}-(1+3x)^{1/3}}{\sin 2x}. \]

5. \[ \lim _{x \rightarrow 0 } \frac{\sqrt{x^2+4}-2}{\sqrt{x^2+16}-4}. \]

6. \[ \lim _{x \rightarrow 2 } \frac{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}+\sqrt{x}}{\sqrt{x^2-4}}. \]

7. \[ \lim _{x \rightarrow +0 } \frac{ 1-\cos 2x}{5 x^2} . \]

8. \[ \lim _{x \rightarrow 0 } \frac{4x^2-3x}{2x^2-9x}. \]

9. \[ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{ x^5-2x^3+11x}{3x^5+2x^3-3} . \]

10. \[ \lim _{x \rightarrow +0} (\cos x)^{2/x^2} . \]

Непрерывные функции. Разрывы функции

Задачи.

Найти и исследовать точки разрыва функций:

1. $$y=e^{\frac{1}{x-2}}.$$

2. $$y=\frac{1}{x^2-4}.$$

3. $$y=\sin \left(\frac{\pi }{x+3}\right).$$

4. $$y=arctg \left(\frac{1}{x}\right ). $$

Производная. Производный от суммы, произведения и частного функций

Задачи.

Вычислить значение производной в указанной точке.

1. Вычислить $f'(4)$, $$f(x)=3x^2-2\sqrt{x}.$$

2. Вычислить $f'(1)$, $$f(x)=\frac{x^3-5x+1}{x^2}.$$

3. Вычислить $f'(2)$, $$f(x)=\frac{3}{5-x}+x^2/3.$$

Вычислить производную от указанных функций.

1. $ y(x)=3x^3+4x+7.$

2. $ y(x)=x^4-x^3/3+2x-1$.

3. $y(x)=(x^3-2x-1)(x^3+x^2+1).$

4. $ y(x)=\sqrt{x}(x^3+2\sqrt{x}-1).$

5. $y(x)=(x+1)^2(x-1).$

6. $y(x)=x\cdot e^x.$

7. $y(x)=x^2\cdot \sin x.$

8. $y(x)=e^x\cdot(\sin x+\cos x).$

9. $$y(x)=\frac{1}{1+x^2}.$$

10. $$y(x)=\frac{x^2+x+1}{x^3+1}.$$

11. $$y(x)=\frac{1-x^3}{1-x^5}.$$

12. $$y(x)=tg x+\frac{e^x}{1+x}.$$

13. $$y(x)=\frac{\sqrt{x}+3x^3-1}{7+2x}.$$

14. $$ y(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}.$$

15. $$y(x)=\frac{\arcsin x}{\arccos x}$$.

Производная. Производные от сложной функции, от обратной функции, от функции, заданной параметрически

Задачи. Вычислить производную от указанных функций.

1. $y(x)=\sin (\sqrt{x})$.

2. $y(x)=\sqrt{\cos x}$.

3. $y(x)=\sqrt{1+2x-x^2}$.

4. $y(x)=\sin (2x)+2\cos (3x)$.

5. $$y(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$.

6. $y(x)=\sqrt{1+\ln x}$.

7. $y(x)=(\arcsin x)^3.$

8. $y(x)=\ln (\sin x+1).$

9. $y(x)=a^x$.

10. $y(x)=arctg x^2.$

11. $y(x)=\ln (x^2-4x).$

12. $$y(x)=\arcsin \left(\frac{2}{x}\right).$$

13. $$y(x)=\frac{x^4}{4^x}.$$

14. $y(x)=e^{\arcsin 2x}.$

15. $y(x)=\sin (x/2)\sin 2x.$

16. $y(x)=\sin (e^{\cos x}).$

Первый дифференциал. Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала

Задачи.

1. Найти дифференциалы функций

а) $y=3x^3+6x-4$.

б) $y=\sin x-x\cos 2x$.

в) $y=\cos(\ln x))$.

2. Вычислить приближенно значения функций, используя первый дифференциал.

а) $f(x)=x^5-2x^3-5x^2+7$ при $x=1.001$.

б) $f(x)=x\ln(x-2)$ при $x=3.003$.

в) $f(x)=\sqrt{4x^3-2x^2-1}$ при $x=1.002$.

Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей

Задачи. Вычислить пределы.

1. \[ \lim _{x \to a}\frac{e^x-e^a}{x-a}. \]

2. \[ \lim _{x \to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{\ln (1+x)}. \]

3. \[ \lim _{x \to 0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin x}. \]

4. \[ \lim _{x \to 2}\frac{\ln(x^2-3)}{x^2+3x-10}. \]

5. \[ \lim _{x \to 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg ^2x\right ). \]

Определение и свойства высших производных

Задачи.

1. $f(x)=e^{-x^2}$. Вычислить $f''(x)$.

2. $f(x)=x^{3/5}$. Вычислить $f'''(x)$.

3. $f(x)=x\sin^2x$. Вычислить $f'''(x)$.

4. $f(x)=x\ln x$. Вычислить $f^{(4)}(x)$.

5. $f(x)=e^x\cos x$. Вычислить $f'''(x)$.

Теорема Тейлора

Задачи.

1. Применив формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции $f(x)=e^x$, вычислить с абсолютной погрешностью не больше $0.001$ значение $e^{0.11}$.

2. Разложить многочлен $f(x)=x^4-4x^3-2x-3$ по степеням двучлена $x-2$.

3. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции $f(x)=\arcsin 2x$ при $x_0=0$.

4. Написать формулу Тейлора 4-го порядка для функции $f(x)=xe^x$ при $x_0=0$.

Монотонность функции и знак ее производной

Задачи. Найти интервалы монотонности функции

1. $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$.

2. $f(x)=x-e^x$.

3. $f(x)=x^2-2\ln x$.

Достаточное условие локального максимума /минимума

Задачи. Найти экстремальные точки функции и выяснить их характер.

1. $f(x)=x^2-6x+8.$

2. $f(x)=x^2(x-4).$

3. $f(x)=\sin x-x.$

4. $f(x)=\sin x-x+x^3/3.$

Решение задачи о глобальном максимуме/минимуме функции на замкнутом отрезке

Задачи.

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=x^3-6x$ на интервале $\left[ -3,4\right]$.

2. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметри, вписанного в полуокружность радиуса $R$.

3. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Какими должны быть размеры, если фиксирован периметр окна, а площадь должна быть наибольшей?

4. Кусок проволоки имеет фиксированную длину. Ее разрезают на 2 части, затем из одной делают квадрат, из второй - окружность. Как надо разрезать проволоку, чтобы сумма площадей круга и квадрата была наибольшей?

Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба

Задачи.

1. Показать, что функция $f(x)=x^2+x^4$ везде выпукла вниз.

2. При каких значениях $a,b$ точка $A(3,1)$ является точкой перегиба кривой $f(x)=ax^2+bx^3$?

Таблица основных первообразных

Вычислить первообразные.

1. \[ \int (3x^3-2x^4+7)dx\,. \] 2. \[ \int \sqrt{x}dx. \] 3. \[ \int a^xb^xdx. \] 4. \[ \int \cos(3x-4)dx. \] 5. \[ \int \frac{5-3\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[5]{x}}{\sqrt[3]{x}}dx. \] 6. \[ \int \frac{1-x^2}{x^2(1+x^2)}dx. \] 7. \[ \int \sin(2x+7)dx. \] 8. \[ \int \frac{(1-x)^3}{x\sqrt{x}}dx. \] 9. \[ \int \left(\frac{1-x}{x}\right)^2dx. \] 10. \[ \int (\sqrt{x}+1)(x+1)dx. \] 11. \[ \int \frac{dx}{x^2}. \] 12. \[ \int \cos^2(2x+3)dx. \] 13. \[ \int \frac{dx}{1-\cos2x}. \] 14. \[ \int \frac{\sin ^4xdx}{\cos ^2x}. \]

Интегрирование по частям

Вычислить первообразные.

1. \[ \int xlnxdx. \]

2. \[ \int x\sin xdx. \]

3. \[ \int xe^{-x}dx. \]

4. \[ \int xarctg xdx. \]

5. \[ \int x\cos (2x) dx. \]

6. \[ \int x\cos^2xdx. \]

7. \[ \int x4^xdx. \]

8. \[ \int x^2a^xdx. \]

Замена переменной в первообразной

Вычислить первообразные

1. \[ \int \frac{\sqrt{lnx}}{x}dx. \] 2. \[ \int \frac{x}{\sqrt[3]{x^2+1}}dx. \] 3. \[ \int \frac{dx}{(arcsinx)^3\sqrt{1-x^2}}. \] 4. \[ \int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^8}}dx. \] 5. \[ \int \frac{dx}{\cos ^2x(3tgx+1)}. \] 6. \[ \int \frac{\cos (3x)dx}{4+\sin(3x)}. \] 7. \[ \int \frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}. \] 8. \[ \int \frac{x^2dx}{\sqrt{x-1}}. \] 9. \[ \int \frac{dx}{x\sqrt{x-1}}. \] 10. \[ \int \frac{\sqrt{x}dx}{x+1}. \]

Вычислить первообразные от дробно-рациональных функций

1. \[ \int \frac{dx}{x^2-x}. \] 2. \[ \int \frac{dx}{(2x+3)^2}. \] 3. \[ \int \frac{dx}{2x^2-2x+3}. \] 4. \[ \int \frac{(x^2+2)dx}{x^3+x^2-2x}. \] 5. \[ \int \frac{dx}{x^3+x^2+2x+2}. \] 6. \[ \int \frac{x^2dx}{x^2-4x+3}. \] 7. \[ \int \frac{xdx}{(x+1)(2x-1)}. \] 8. \[ \int \frac{x^5+x^4-8}{x^3-4x}dx. \] 9. \[ \int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)}. \] 10. \[ \int \frac{dx}{(x-2)^2(x+2)^2}. \] 11. \[ \int \frac{dx}{x^4-1}. \]

Интегралы от тригонометрических функций

Вычислить первообразные

1. \[ \int \sin 2x\cos 5xdx. \] 2. \[ \int \sin ^2x\cos ^2xdx. \] 3. \[ \int \sin (3x+4) \sin (4x-1)dx. \] 4. \[ \int \frac{\cos 3x}{4+3\sin 3x}dx. \] 5. \[ \int \frac{\cos x}{1+\cos x}dx. \] 6. \[ \int \frac{\sin x}{\cos ^5x}dx. \] 7. \[ \int \frac{dx}{\sin^2x\cos ^4x}. \] 8. \[ \int \frac{1}{1+\cos x+\sin x}dx. \] 9. \[ \int \frac{\sin (2x)dx}{1+\sin ^2x}. \] 10. \[ \int \frac{dx}{\sin x(2\cos ^2x-1)}. \] 11. \[ \int \frac{dx}{5+3\cos x+4\sin x}. \] 12. \[ \int \frac{dx}{\cos x+3tg x}. \]

Интегралы от функций, содержащих иррациональности

Вычислить первообразные.

1. \[ \int \sqrt[3]{x}(\sqrt{x}+1)^3\,dx. \] 2. \[ \int \frac{1}{1+\sqrt[3]{x+1}}\,dx. \] 3. \[ \int \frac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{(x+3)^2}}\,dx. \] 4. \[ \int \frac{x^2+\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x+1}}\,dx. \] 5. \[ \int \frac{\sqrt{x+5}}{\sqrt[3]{x+5}+1}\,dx. \] 6. \[ \int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+2\sqrt[4]{x}}. \] 7. \[ \int x\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\,dx. \]

Подстановки Эйлера

Вычислить первообразные.

1. \[ \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx. \] 2. \[ \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}. \] 3. \[ \int \frac{1}{x+\sqrt{1+x+x^2}}dx. \] 4. \[ \int \frac{1}{1+\sqrt{2+x+x^2}}dx. \] 5. \[ \int \frac{dx}{x\sqrt{2+x-x^2}}. \] 6. \[ \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+4x-4}}. \]

Формула Ньютона-Лейбница

Вычислить интегралы<

1. \[ \int _{0}^1\sqrt{1+x}\,dx. \] 2. \[ \int _{-2}^{-1}\frac{dx}{(7+3x)^2}. \] 3. \[ \int _{2}^{-6}\frac{dx}{\sqrt[3]{(3-x)^2}}. \] 4. \[ \int _{0}^{16}\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}. \] 5. \[ \int _{-a}^0\frac{(a+x)^2}{a}\,dx. \] 6. \[ \int _{0}^{\pi /2}\sin x \cos3x\, dx. \] 7. \[ \int _{0}^{\pi /4}\frac{dx}{\cos ^4x}. \] 8. \[ \int _{0}^{1/4}\frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}. \] 9. \[ \int _{0}^{13}\frac{x+1}{\sqrt[3]{2x+1}}dx. \] 10. \[ \int _{ln2}^{ln3}\frac{e^{2x}}{e^x-e^{-x}}dx. \]

Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода

Вычислить несобственный интеграл или установить его сходимость(расходимость)

1. \[ \int _{0}^{+\infty}e^{-ax}\,dx. \] 2. \[ \int _{0}^{+\infty}xe^{-x^2}\,dx. \] 3. \[ \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{2xdx}{x^2+1}. \] 4. \[ \int _{0}^{+\infty}\frac{xdx}{(x+2)^3}. \] 5. \[ \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+2x+2}. \] 6. \[ \int _{1}^{+\infty}\frac{lnx}{x^2}\,dx. \] 7. \[ \int _{1}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}. \] 8. \[ \int _{0}^{+\infty}e^{-\sqrt{x}}\,dx. \] 9. \[ \int _{0}^{+\infty}e^{-ax}\cos x\,dx. \] 10. \[ \int _{0}^{+\infty}\frac{xdx}{x^3+1}. \]

Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода

Вычислить несобственный интеграл или установить его сходимость(расходимость)

1. \[ \int _{0}^{1}\frac{dx}{x^3-5x^2}\,. \] 2. \[ \int _{3}^{7}\frac{x\,dx}{(x-5)^2}\,. \] 3. \[ \int _{0}^{1}\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}\,. \] 4. \[ \int _{0}^{1}\frac{x^3\,dx}{1-x^5}\,. \] 5. \[ \int _{-3}^{2}\frac{dx}{(x+3)^2}\,. \] 6. \[ \int _{1}^{2}\frac{x^2\,dx}{(x-1)\sqrt{x-1}}\,. \] 7. \[ \int _{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x+x^2}}\,. \] 8. \[ \int _{0}^{1/4}\frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}\,. \] 9. \[ \int _{1}^{2}\frac{dx}{xlnx}\,. \] 10. \[ \int _{1}^{2}\frac{x^3\,dx}{\sqrt{4-x^2}}\,. \] 11. \[ \int _{0}^{\pi /4}\frac{dx}{\sin ^4x}\,. \]

Площадь плоских фигур

1. Найти площадь, ограниченную кривыми $y=x^2-4$ и $x-y+8=0$.

2. Найти площадь, ограниченную кривыми $xy=2$ и $x+2y=5$.

3. Найти площадь, ограниченную кривыми $y=e^x, \quad y=e^{-x}, \quad x=1$.

4. Найти площадь, ограниченную кривыми $y^2=3x, \quad x^2=3y$.

5. Найти площадь, ограниченную кривыми $x^2=4y, \quad y=8/(x^2+4)$.

6. Найти площадь, ограниченную кривой $r=a\sin (3\varphi )$.

7. Найти площадь, ограниченную кривой $x=3(t-\sin t), \quad y=3(1-\cos t)$, где $0

8. Найти площадь, ограниченную кривой $(x^2+y^2)^5=a^6x^3y$.

9. Найти площадь, ограниченную кривыми $r=2(1-\cos \varphi ), \quad r=\varphi $, $ 0 \leq \varphi \leq 2\pi$.

Длина дуги кривой

1. Найти длину дуги кривой $y=ln(1-x^2)$ от $x=0$ до $x=1/2$.

2. Найти длину дуги кривой $y^2=(1+x)^3$ от $x=0$ до $x=3$.

3. Найти длину дуги астроиды $y=2\sin ^3t, \quad x=2\cos ^3t$.

4. Найти длину дуги кардиоиды $r=3(1-\cos \varphi)$.

5. Найти длину первого витка спирали Архимеда $r=a\varphi, \quad a>0$.

Вычисление объма тел

1. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси $x$ фигуры, ограниченной параболами $y=x^2$ и $y^2=x$. $y=ln(1-x^2)$ от $x=0$ до $x=1/2$.

2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси $y$ фигуры, ограниченной параболами $y=x^2$ и $y=2-x^2$.

3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси $x$ фигуры, ограниченной кривыми $y=(1+x^2)^{-1}$, $y=x/2$ и $x=0$.

4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси $x$ кривой $y=\sin x$, $0 \leq x \leq \pi$.

5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси $y$ фигуры, ограниченной параболами $y=2x-x^2$ и $y=0$.

Приложения в механике

1. Найти кооординаты центра масс (полагая распределение масс равномерным)

а) симметричного параболического сегмента с основанием $a$ и высоты $h$;

б) дуги окружности радиуса $R$, стягивающей центральный угол $\alpha $.

2. Найти момент инерции (полагая распределение масс равномерным)

а) полукруга радиуса $R$ относительно его диаметра;

б) конуса с радиусом основания $R$, высоты $H$, относительно его оси;

в) шара радиуса $R$ относительно его диаметра.