1. Введение
2. Основные структуры
3. Пределы. Непрерывные функции
4. Производная, дифференциальное исчисление
5. Высшие производные
6. Приложения дифференциального исчисления
7. Первообразная (неопределенный интеграл)
8. Техника вычисления первообразных
9. Определенный интеграл
10. Несобственные интегралы
11. Интегралы зависящие от параметра
12. Приложения определенных интегралов
8. Техника вычисления первообразных
Вычисление первообразных опирается на несколько стандартных подходов. Пара из них (интегрирование по частям и замена переменных) обсуждались выше. Кроме того, есть несколько классов интегрируемых функций, для которых развита соответствующая техника. Основной из этих классов - дробно-рациональные функции, остальные классы сводятся к дробно-рациональным функциям с помощью подходящей замены переменной. Ниже мы перечислим некоторые из этих классов с указанием соответствующих замен (подстановок).
8.1 Интегралы от дробно-рациональных функций
8.1.1 Полиномы, основные свойства
Определение. Функция
P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^nназывается полиномом (или многочленом) переменной x. Числа a_0,a_1,...,a_n называются коэффициентами полинома P(x). Число n называется степенью полинома P(x) (здесь предполагается, что a_n \neq 0). Степень полинома P(x) обозначается degP(x). Отдельное слагаемое называется одночленом. Одночлен с наибольшей степенью называется старшим в данном полиноме.
Пример.
На языке линейной алгебры это определение означает, что P(x) является линейной комбинацией конечного набора целых степеней переменной x. Ключевой здесь является конечность этого набора.
Полиномы обладают рядом важных свойств.
1. Полиномы определены при всех x \in \mathbb{R} и являются бесконечно-дифференцируемыми функциями при всех x.
2. Сумма и произведение любого конечного числа полиномов является полиномом.
3. Производная любого порядка от полинома является полиномом.
4. Суперпозиция полиномов является полиномом: если P(x), Q(t) - полиномы переменных x и t соответственно, то Q(P(x)) является полиномом переменной x.
Аналогичным образом можно определить и полиномы от нескольких переменных. Полиномы от пескольких переменных также обладают описанными выше свойствами. Степень определяется как максимальная суммарная (по всем переменным) степень одночлена. Например, функция f(x,y)=x+2y+3xy+4x^2y^3 является полиномом от переменных x,y причем степень этого полинома равна 2+3=5.
8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства
Определение. Пусть P(x), Q(x) - полиномы переменной x. Тогда выражение
R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}называется дробно-рациональной функцией переменной x (или, короче, рациональной функцией).
Опишем свойства дробно-рациональных функций.
1. Они определены при всех x, отличных от нулей знаменателя, и являются в этой области определения бесконечно-дифференцируемыми функциями.
2. Сумма и произведение любого конечного числа дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией.
3. Производная любого порядка от дробно-рациональной функции является дробно-рациональной функцией.
4. Суперпозиция дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией: если R(x), S(t) - дробно-рациональные функции переменных x и t соответственно, то S(R(x)) является дробно-рациональной функцией переменной x.
Можно определить и дробно-рациональные функции нескольких переменных. Они также обладают описанными выше свойствами (при уточняющей формулировке).
8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций
Теория дробно-рациональных функций во многом подобна теории рациональных чисел. Напомним, что рациональное число r=p/q>0 (p и q - целые положительные числа) называется правильным, если p <\ q и неправильным, если p >\ q. Неправильное рациональное число можно представить в виде r=n+s/q, где n - целое число (называется целой частью r, а s/q - правильное рациональное число. Обычно это представление получают делением нацело p на q, при этом n - результат этого деления, а s - остаток.
Определение.
Дробно-рациональная функция R(x)=P(x)/Q(x) (P(x),Q(x) - полиномы переменной x) называется правильной, если degP(x) <\ degQ(x) (степень полинома P(x) меньше степени полинома Q(x)). Если deg P(x)\geq degQ(x), дробно-рациональная функция R(x) называется неправильной.
Теорема. Любую дробно-рациональную функцию R(x) можно представить в виде суммы полинома T(x) и правильной дробно-рациональной функции,
R(x)=T(x)+\frac{S(x)}{Q(x)},degS(x) <\ degQ(x). Полином T(x) называется целой частью дробно-рациональной функции R(x).
На практике это представление находят с помощью процедуры, носящей название "деление уголком".
Пример.
Определение. Дробно-рациональная функция
r(x)=\frac{a}{(x-b)^k}, \quad k =1,2,3,...называется простейшей дробно-рациональной функцией.
Это определение связано с тем, что первообразные от таких функций вычисляются достаточно просто.
\int \frac{a}{(x-b)^k}dx= \left\{\begin{array}{l} a \cdot ln(x-b)+C, \quad k=1,\\ a \cdot \frac{(x-b)^{1-k}}{1-k}+C, k=2,3,4,... \end{array} \right.Теорема. Любая правильная дробно-рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробно-рациональных функций.
Пример.
8.1.4 Вычисление первообразной от дробно-рациональной функции
Итак, согласно результатам, приведенным в предыдущем пункте, любая дробно-рациональная функция может быть представлена в виде суммы полинома (целая часть исходной дробно-рациональной функции) и простейших. Интеграл от полинома сводится к вычислению интеграла от линейной комбинации целых степеней независимой переменной,
\int T(x)dx=\int \sum _{k=0}^m T_kx^kdx=\sum _{k=0}^mT_k\int x^kdx=\sum _{k=0}^m\frac{x^{k+1}}{k+1}+C.Интегралы от простейших вычисляются согласно приведенным выше формулам.
Теорема. Первообразная от любой дробно-рациональной функции вычисляется в явном виде, в замнутой аналитической форме.
Задачи.