5. Высшие производные

5.4 Формула Тейлора для некоторых функций

Формула Тейлора легко выписывается в явном виде для тех функций, для которых нетрудно вычислить производные любого порядка. Здесь приведены ряд примеров в этом направлении. Мы будем выписывать формулы Тейлора для случая $x_0=0$, для других значений $x_0$ формулы могут быть получены с помощью соответствующей модификации.

1. Рассмотрим функцию $f(x)=e^x$. Для этой функции нетрудно вычислить производные произвольного порядка: $(e^x)^{(n)}=e^x$. Эти производные в точке $x_0=0$ обращаются в единицу, так что формула Тейлора для данной функции имеет вид: \[ e^x=\sum_{k=0}^N\frac{x^k}{k!}+\frac{e^{\xi}x^{N+1}}{(N+1)!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+... \] \[ +\frac{x^N}{N!}+\frac{e^{\xi}x^{N+1}}{(N+1)!}. \]

Напомним, что число $\xi$ располагается между $0$ и $x$. Уже для $N=10$ остаточный член при $|x|< 1$ меньше, чем $3 \cdot 10^{-6}$, так что уже первых 10 слагаемых достаточно для вычисления этой функции с точностью $3 \cdot 10^{-6}$ при $|x| < 1$.

2. Рассмотрим функцию $f(x)=\sin x$. Для этой функции также можно вычислить все производные. А именно, $(\sin x)'=\cos x=\sin(x+\pi /2)$, так что $(\sin x)^{(n)}=\sin (x+ \pi n/2)$ при всех $n$. Вычисляя значения производных при $x_0=0$, находим: $ \sin (x_0+ \pi (m+1/2))=(-1)^m$, $ \sin (x_0+ \pi m)=0$. Соответственно, формула Тейлора для данной функции содержит только нечетные слагаемые и в итоге получаем: \[ \sin x=\sum _{m=0}^N\frac{(-1)^mx^{2m+1}}{(2m+1)!}+\frac{(-1)^{N+1} x^{2N+2}\sin \xi }{(2N+2)!}= \] \[ x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+... \] \[ +\frac{(-1)^Nx^{2N+1}}{(2N+1)!}+\frac{(-1)^{N+1} x^{2N+2}\sin \xi }{(2N+2)!} . \]

Здесь число $\xi$ располагается между $0$ и $x$. В этой формуле знаменатель в остаточном члене растет еще быстрее, так что уже 5 слагаемых достаточно для вычисления значения $\sin x$ с точностью порядка $10^{-6}$ при $|x|< 1$.

3. Следующим примером будет функция $\cos x$, для которой значения производных также нетрудно вычислить:

$(\cos x)'=\sin x=\cos (x-\pi /2)$.

Соответственно, $(\cos x)^{(n)}=\cos (x-\pi n/2)$, так что производные в точке $x_0=0$ также нетрудно сосчитать. $\cos (x_0-\pi m)=(-1)^m$, $\cos (x_0-\pi (m+1/2))=0$. Таким образом, только четные производные в этой точке отличны от 0, так что формула Тейлора будет содержать только четные слагаемые.

В итоге: \[ \cos x=\sum _{m=0}^N\frac{(-1)^mx^{2m}}{(2m)!}+\frac{(-1)^{N+1} x^{2N+1}\cos \xi }{(2N+1)!}= \] \[ 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+... \] \[ +\frac{(-1)^Nx^{2N}}{(2N)!}+\frac{(-1)^{N+1} x^{2N+1}\cos \xi }{(2N+1)!}. \]