1. Введение
2. Основные структуры
- 2.1 Элементы теории множеств
- 2.2 Операции с множествами
- 2.3 Функции и способы их задания
- 2.4 Числовые последовательности
3. Пределы. Непрерывные функции
- 3.1 Предел последовательности
- 3.1.1 Определения
- 3.1.2 Арифметика пределов
- 3.1.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.1.4 Признаки существования пределов
- 3.1.5 Вычисление пределов
- 3.1.6 Замечательный предел
- 3.2 Функции непрерывной переменной
- 3.2.1 Определения
- 3.2.2 Арифметика пределов
- 3.2.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.2.4 Признаки существования пределов
- 3.2.5 Замечательные пределы
- 3.2.6 Список важнейших предельных соотношений
- 3.3 Непрерывные функции
- 3.3.1 Определения
- 3.3.2 Основные свойства
- 3.3.3 Разрывы функции
4. Производная, дифференциальное исчисление
- 4.1 Производная
- 4.1.1 Определение производной
- 4.1.2 Производный от элементарных функций
- 4.1.3 Производный от суммы, произведения и частного функций
- 4.1.4 Производные от сложной функции, от обратной функции, от функции, заданной параметрически
- 4.1.5 Таблица производных
- 4.2 Первый дифференциал
- 4.1.2 Производная от элементарных функций
- 4.1.3 Производная от суммы, произведения и частного функций
- 4.2.3 Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала
- 4.3 Свойства дифференцируемых функций
- 4.4 Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей
5. Высшие производные
- 5.1 Определение и свойства высших производных
- 5.2 Определение и свойства дифференциалов высших порядков
- 5.3 Теорема Тейлора
- 5.4 Формула Тейлора для некоторых функций
6. Приложения дифференциального исчисления
- 6.1 Монотонность функции и знак ее производной
- 6.2 Достаточное условие локального максимума/минимума
- 6.3 Решение задачи о глобальном максимуме/минимуме функции на замкнутом отрезке
- 6.4 Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба
7. Первообразная (неопределенный интеграл)
- 7.1 Определение и основные свойства первообразных
- 7.2 Таблица основных первообразных
- 7.3 Интегрирование по частям
- 7.4 Замена переменной в первообразной
8. Техника вычисления первообразных
- 8.1 Интегралы от дробно-рациональных функций
- 8.1.1 Полиномы, основные свойства
- 8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства
- 8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций
- 8.1.4 Вычисление первообразной от дробно-рациональной функции
- 8.2 Интегралы от тригонометрических функций
- 8.3 Интегралы от функций, содержащих иррациональности
- 8.4 Подстановки Эйлера
- 8.5 "Неберущиеся" интегралы
9. Определенный интеграл
- 9.1 Определение
- 9.2 Геометрический смысл определенного интеграла
- 9.3 Основные свойства
- 9.4 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.4.1 Интеграл как функция верхнего предела
- 9.4.2 Формула Барроу
- 9.4.3 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.5 Интегрирование по частям в определенном интеграле
- 9.6 Замена переменной в определенном интеграле
10. Несобственные интегралы
- 10.1 Несобственные интегралы 1 рода
- 10.1.1 Определение и основные свойства
- 10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода
- 10.2 Несобственные интегралы 2 рода
- 10.2.1 Определение и основные свойства
- 10.2.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода
11. Интегралы зависящие от параметра
12. Приложения определенных интегралов
9. Определенный интеграл
9.3 Основные свойства определенного интеграла
1. Если $f(x)=M=const$, то
\[ \int _a^bf(x)dx=M \cdot (b-a). \]2. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[a,b\right]$, $k=const$, то функция $k\cdot f(x)$ также интегрируема на $\left[a,b\right]$, причем
\[ \int _a^b k\cdot f(x)dx=k\cdot\int _a^bf(x)dx \](константа выносится за знак интеграла).
3. Если функции $f(x)$, $g(x)$ интегрируемы на интервале $\left[a,b\right]$, то функция $f(x)+g(x)$ также интегрируема на интервале $\left[a,b\right]$, причем
\[ \int _a^b \left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^b f(x)dx+\int _a^b g(x)dx \](интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от функций).
4. Если функция $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[a,b\right]$, причем $f(x) \geq 0$ на этом интервале, то
\[ \int _a^b f(x)dx \geq 0 \](интегрирование неравенств).
5. Пусть функция $f(x)$ интегрируема на конечном интервале $\left[a,b\right]$, причем для некоторых чисел $m, \,M$ выполняется неравенство $m \leq f(x) \leq M$ при всех $x \in \left[a,b\right]$. Тогда
\[ m(b-a)\leq \int _a^b f(x)dx \leq M(b-a) \](теорема об оценке интеграла).
6. Пусть $f(x)$ непрерывна на конечном интервале $\left[a,b\right]$. Тогда существует такая точка $c \in (a,b)$, что выполняется равенство
\[ f(c)=\frac{\int _a^b f(x)dx }{b-a} \](теорема об интегральном среднем).
7. Пусть функция $f(x)$ интегрируема на конечном интервале $\left[a,b\right]$. Определенный интеграл был построен выше в ситуации, когда конечные числа $a,\,b$ удовлетворяют неравенству: $a Пусть теперь $c \in (a,b)$, тогда $f(x)$ интегрируема на подинтервалах $(a,c)$, $(c,b)$, причем Это равенство справедливо и тогда, когда $c$ лежит вне интервала $\left[a,b\right]$ в предположении, что все интегралы существуют. Это свойство называется аддитивность интеграла по интервалу.