1. Введение
2. Основные структуры
- 2.1 Элементы теории множеств
- 2.2 Операции с множествами
- 2.3 Функции и способы их задания
- 2.4 Числовые последовательности
3. Пределы. Непрерывные функции
- 3.1 Предел последовательности
- 3.1.1 Определения
- 3.1.2 Арифметика пределов
- 3.1.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.1.4 Признаки существования пределов
- 3.1.5 Вычисление пределов
- 3.1.6 Замечательный предел
- 3.2 Функции непрерывной переменной
- 3.2.1 Определения
- 3.2.2 Арифметика пределов
- 3.2.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.2.4 Признаки существования пределов
- 3.2.5 Замечательные пределы
- 3.2.6 Список важнейших предельных соотношений
- 3.3 Непрерывные функции
- 3.3.1 Определения
- 3.3.2 Основные свойства
- 3.3.3 Разрывы функции
4. Производная, дифференциальное исчисление
- 4.1 Производная
- 4.1.1 Определение производной
- 4.1.2 Производная от элементарных функций
- 4.1.3 Производная от суммы, произведения и частного функций
- 4.1.4 Производные от сложной функции, от обратной функции, от функции, заданной параметрически
- 4.1.5 Таблица производных
- 4.2 Первый дифференциал
- 4.2.1 Определение и основные свойства первого дифференциала
- 4.2.2 Геометрический смысл первого дифференциала
- 4.2.3 Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала
- 4.3 Свойства дифференцируемых функций
- 4.4 Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей
5. Высшие производные
- 5.1 Определение и свойства высших производных
- 5.2 Определение и свойства дифференциалов высших порядков
- 5.3 Теорема Тейлора
- 5.4 Формула Тейлора для некоторых функций
6. Приложения дифференциального исчисления
- 6.1 Монотонность функции и знак ее производной
- 6.2 Достаточное условие локального максимума/минимума
- 6.3 Решение задачи о глобальном максимуме/минимуме функции на замкнутом отрезке
- 6.4 Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба
7. Первообразная (неопределенный интеграл)
- 7.1 Определение и основные свойства первообразных
- 7.2 Таблица основных первообразных
- 7.3 Интегрирование по частям
- 7.4 Замена переменной в первообразной
8. Техника вычисления первообразных
- 8.1 Интегралы от дробно-рациональных функций
- 8.1.1 Полиномы, основные свойства
- 8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства
- 8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций
- 8.1.4 Вычисление первообразной от дробно-рациональной функции
- 8.2 Интегралы от тригонометрических функций
- 8.3 Интегралы от функций, содержащих иррациональности
- 8.4 Подстановки Эйлера
- 8.5 "Неберущиеся" интегралы
9. Определенный интеграл
- 9.1 Определение
- 9.2 Геометрический смысл определенного интеграла
- 9.3 Основные свойства
- 9.4 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.4.1 Интеграл как функция верхнего предела
- 9.4.2 Формула Барроу
- 9.4.3 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.5 Интегрирование по частям в определенном интеграле
- 9.6 Замена переменной в определенном интеграле
10. Несобственные интегралы
- 10.1 Несобственные интегралы 1 рода
- 10.1.1 Определение и основные свойства
- 10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода
- 10.2 Несобственные интегралы 2 рода
- 10.2.1 Определение и основные свойства
- 10.2.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода
11. Интегралы зависящие от параметра
12. Приложения определенных интегралов
8. Техника вычисления первообразных
Вычисление первообразных опирается на несколько стандартных подходов. Пара из них (интегрирование по частям и замена переменных) обсуждались выше. Кроме того, есть несколько классов интегрируемых функций, для которых развита соответствующая техника. Основной из этих классов - дробно-рациональные функции, остальные классы сводятся к дробно-рациональным функциям с помощью подходящей замены переменной. Ниже мы перечислим некоторые из этих классов с указанием соответствующих замен (подстановок).
8.1 Интегралы от дробно-рациональных функций
8.1.1 Полиномы, основные свойства
Определение. Функция
\[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n \]называется полиномом (или многочленом) переменной $x$. Числа $a_0,a_1,...,a_n$ называются коэффициентами полинома $P(x)$. Число $n$ называется степенью полинома $P(x) $ (здесь предполагается, что $a_n \neq 0$). Степень полинома $P(x)$ обозначается $degP(x)$. Отдельное слагаемое называется одночленом. Одночлен с наибольшей степенью называется старшим в данном полиноме.
Пример.
На языке линейной алгебры это определение означает, что $P(x)$ является линейной комбинацией конечного набора целых степеней переменной $x$. Ключевой здесь является конечность этого набора.
Полиномы обладают рядом важных свойств.
1. Полиномы определены при всех $x \in \mathbb{R}$ и являются бесконечно-дифференцируемыми функциями при всех $x$.
2. Сумма и произведение любого конечного числа полиномов является полиномом.
3. Производная любого порядка от полинома является полиномом.
4. Суперпозиция полиномов является полиномом: если $P(x)$, $Q(t)$ - полиномы переменных $x$ и $t$ соответственно, то $Q(P(x))$ является полиномом переменной $x$.
Аналогичным образом можно определить и полиномы от нескольких переменных. Полиномы от пескольких переменных также обладают описанными выше свойствами. Степень определяется как максимальная суммарная (по всем переменным) степень одночлена. Например, функция $f(x,y)=x+2y+3xy+4x^2y^3$ является полиномом от переменных $x,y$ причем степень этого полинома равна 2+3=5.
8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства
Определение. Пусть $P(x)$, $Q(x)$ - полиномы переменной $x$. Тогда выражение
\[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \]называется дробно-рациональной функцией переменной $x$ (или, короче, рациональной функцией).
Опишем свойства дробно-рациональных функций.
1. Они определены при всех $x$, отличных от нулей знаменателя, и являются в этой области определения бесконечно-дифференцируемыми функциями.
2. Сумма и произведение любого конечного числа дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией.
3. Производная любого порядка от дробно-рациональной функции является дробно-рациональной функцией.
4. Суперпозиция дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией: если $R(x)$, $S(t)$ - дробно-рациональные функции переменных $x$ и $t$ соответственно, то $S(R(x))$ является дробно-рациональной функцией переменной $x$.
Можно определить и дробно-рациональные функции нескольких переменных. Они также обладают описанными выше свойствами (при уточняющей формулировке).
8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций
Теория дробно-рациональных функций во многом подобна теории рациональных чисел. Напомним, что рациональное число $r=p/q>0$ ($p$ и $q$ - целые положительные числа) называется правильным, если $p <\ q$ и неправильным, если $p >\ q$. Неправильное рациональное число можно представить в виде $r=n+s/q$, где $n$ - целое число (называется целой частью $r$, а $s/q$ - правильное рациональное число. Обычно это представление получают делением нацело $p$ на $q$, при этом $n$ - результат этого деления, а $s$ - остаток.
Определение.
Дробно-рациональная функция $R(x)=P(x)/Q(x)$ ($P(x),Q(x)$ - полиномы переменной $x$) называется правильной, если $degP(x) <\ degQ(x)$ (степень полинома $P(x)$ меньше степени полинома $Q(x)$). Если $deg P(x)\geq degQ(x)$, дробно-рациональная функция $R(x)$ называется неправильной.
Теорема. Любую дробно-рациональную функцию $R(x)$ можно представить в виде суммы полинома $T(x)$ и правильной дробно-рациональной функции,
\[ R(x)=T(x)+\frac{S(x)}{Q(x)}, \]$degS(x) <\ degQ(x)$. Полином $T(x)$ называется целой частью дробно-рациональной функции $R(x)$.
На практике это представление находят с помощью процедуры, носящей название "деление уголком".
Пример.
Найдем целую часть дробно-рациональной функции \[ R(x)=\frac{3x^4+2x-2}{x^2+x}. \]Выписываем в уголках числитель и знаменатель функции,
\[ 3x^4+2x-1\quad |\underline{\quad x^2+x} \]Подбираем подходящий множитель для старшего одночлена знаменателя, так, чтобы их произведение совпадало со старшим одночленом числителя. В данном случае это $3x^2$. Результат умножения знаменателя подписываем под числителем ( в этом месте "собирается" результат деления - целая часть дробно-рациональной функции) и вычитаем:
\[ \begin{array}{lc} 3x^4+2x-2\quad |&\underline{\quad x^2+x}\\ - & 3x^2 \\ \underline{ 3x^4+3x^3} & \quad \\ \quad \quad -3x^3+2x-2 & \quad \\ \end{array} \]Результат вычитания подписываем под чертой. Далее, подбираем множитель, при умножении на который $x^2$ (старший одночлен знаменателя) дает $-3x^3$ (старший одночлен остатка). В данном случае это $-3x$, добавляем это выражение к целой части. Результат умножения знаменателя подписываем под остатком и вычитаем:
\[ \begin{array}{lc} 3x^4+2x-2\quad |&\underline{\quad x^2+x}\\ - & 3x^2 -3x\\ \underline{ 3x^4+3x^3} & \quad \\ \quad \quad -3x^3+2x-2 & \quad \\ \quad \quad - & \quad \\ \quad \quad \underline{-3x^3-3x^2} & \quad \\ \quad \quad \quad 3x^2+2x-2 & \quad \\ \end{array} \]Подбираем множитель, при умножении на который $x^2$ (старший одночлен знаменателя) дает $3x^2$ (старший одночлен остатка). В данном случае это $3$, добавляем это выражение к целой части. Результат умножения знаменателя подписываем под остатком и вычитаем:
\[ \begin{array}{lc} 3x^4+2x-2\quad |&\underline{\quad x^2+x}\\ - & 3x^2 -3x+3\\ \underline{ 3x^4+3x^3} & \quad \\ \quad \quad -3x^3+2x-2 & \quad \\ \quad \quad - & \quad \\ \quad \quad \underline{-3x^3-3x^2} & \quad \\ \quad \quad \quad 3x^2+2x-2 & \quad \\ \quad \quad \quad - & \quad \\ \quad \quad \quad \quad \underline{3x^2+3x} & \quad \\ \quad \quad \quad \quad -x-2 & \quad \\ \end{array} \]Последний остаток имеет степень меньше, чем знаменатель. В этом месте процедура останавливается и мы получаем:
\[ \frac{3x^4+2x-2}{x^2+x}=3x^2-3x+3+\frac{-x-2}{x^2+x}, \]искомое представление дробно-рациональной функции в виде суммы целой части $3x^2-3x+3$ и правильной дробно-рациональной функции.
Определение. Дробно-рациональная функция
\[ r(x)=\frac{a}{(x-b)^k}, \quad k =1,2,3,... \]называется простейшей дробно-рациональной функцией.
Это определение связано с тем, что первообразные от таких функций вычисляются достаточно просто.
\[ \int \frac{a}{(x-b)^k}dx= \left\{\begin{array}{l} a \cdot ln(x-b)+C, \quad k=1,\\ a \cdot \frac{(x-b)^{1-k}}{1-k}+C, k=2,3,4,... \end{array} \right. \]Теорема. Любая правильная дробно-рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробно-рациональных функций.
Пример.
Разложим в сумму простейших дробно-рациональную функцию \[ R(x)=\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}. \]В знаменателе присутствуют $(x-1)$ и $(x+1)$ в первой степени. Соответственно, полагаем
\[ \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{\alpha }{x-1}+\frac{\beta}{x+1}, \]где в знаменателе стоят соответственно первые степени $(x-1)$ и $(x+1)$, а параметры $\alpha$, $\beta $ подлежат определению. Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:
\[ \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{\alpha (x+1)+\beta (x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]Приравнивая числители, находим:
\[ x+2=\alpha (x+1)+\beta(x-1). \]Это равенство должно выполняться при всех $x$. Подставляем $x=1$, находим $\alpha = 3/2$, подставляя $x=-1$, находим $\beta = -1/2$.
8.1.4 Вычисление первообразной от дробно-рациональной функции
Итак, согласно результатам, приведенным в предыдущем пункте, любая дробно-рациональная функция может быть представлена в виде суммы полинома (целая часть исходной дробно-рациональной функции) и простейших. Интеграл от полинома сводится к вычислению интеграла от линейной комбинации целых степеней независимой переменной,
\[ \int T(x)dx=\int \sum _{k=0}^m T_kx^kdx=\sum _{k=0}^mT_k\int x^kdx=\sum _{k=0}^m\frac{x^{k+1}}{k+1}+C. \]Интегралы от простейших вычисляются согласно приведенным выше формулам.
Теорема. Первообразная от любой дробно-рациональной функции вычисляется в явном виде, в замнутой аналитической форме.
Задачи.
Вычислить первообразные. 1. \[ \int \frac{dx}{x^2-x}. \] 2. \[ \int \frac{dx}{(2x+3)^2}. \] 3. \[ \int \frac{dx}{2x^2-2x+3}. \] 4. \[ \int \frac{(x^2+2)dx}{x^3+x^2-2x}. \] 5. \[ \int \frac{dx}{x^3+x^2+2x+2}. \] 6. \[ \int \frac{x^2dx}{x^2-4x+3}. \] 7. \[ \int \frac{xdx}{(x+1)(2x-1)}. \] 8. \[ \int \frac{x^5+x^4-8}{x^3-4x}dx. \] 9. \[ \int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)}. \] 10. \[ \int \frac{dx}{(x-2)^2(x+2)^2}. \] 11. \[ \int \frac{dx}{x^4-1}. \]