+2. Основные структуры

2.1 Элементы теории множеств
2.2 Операции с множествами
2.3 Функции и способы их задания
2.4 Числовые последовательности

3. Пределы. Непрерывные функции +

3.1 Предел последовательности
3.1.1 Определения
3.1.2 Арифметика пределов
3.1.3 Арифметика бесконечно малых
3.1.4 Признаки существования пределов
3.1.5 Вычисление пределов
3.1.6 Замечательный предел
3.2 Функции непрерывной переменной
3.2.1 Определения
3.2.2 Арифметика пределов
3.2.3 Арифметика бесконечно малых
3.2.4 Признаки существования пределов
3.2.5 Замечательные пределы
3.2.6 Список важнейших предельных соотношений
3.3 Непрерывные функции
3.3.1 Определения
3.3.2 Основные свойства
3.3.3 Разрывы функции

4. Производная, дифференциальное исчисление+

4.1 Производная
4.1.1 Определение производной
4.1.2 Производная от элементарных функций
4.1.3 Производная от суммы, произведения и частного функций
4.1.4 Производные от сложной функции, от обратной функции, от функции, заданной параметрически
4.1.5 Таблица производных
4.2 Первый дифференциал
4.2.1 Определение и основные свойства первого дифференциала
4.2.2 Геометрический смысл первого дифференциала
4.2.3 Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала
4.3 Свойства дифференцируемых функций
4.4 Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей

5. Высшие производные+

5.1 Определение и свойства высших производных
5.2 Определение и свойства дифференциалов высших порядков
5.3 Теорема Тейлора
5.4 Формула Тейлора для некоторых функций

6. Приложения дифференциального исчисления+

6.1 Монотонность функции и знак ее производной
6.2 Достаточное условие локального максимума/минимума
6.3 Решение задачи о глобальном максимуме/минимуме функции на замкнутом отрезке
6.4 Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба

7. Первообразная (неопределенный интеграл)+

7.1 Определение и основные свойства первообразных
7.2 Таблица основных первообразных
7.3 Интегрирование по частям
7.4 Замена переменной в первообразной

8. Техника вычисления первообразных+

8.1 Интегралы от дробно-рациональных функций
8.1.1 Полиномы, основные свойства
8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства
8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций
8.1.4 Вычисление первообразной от дробно-рациональной функции
8.2 Интегралы от тригонометрических функций
8.3 Интегралы от функций, содержащих иррациональности
8.4 Подстановки Эйлера
8.5 "Неберущиеся" интегралы

9. Определенный интеграл+

9.1 Определение
9.2 Геометрический смысл определенного интеграла
9.3 Основные свойства
9.4 Формула Ньютона-Лейбница
9.4.1 Интеграл как функция верхнего предела
9.4.2 Формула Барроу
9.4.3 Формула Ньютона-Лейбница
9.5 Интегрирование по частям в определенном интеграле
9.6 Замена переменной в определенном интеграле

10. Несобственные интегралы+

10.1 Несобственные интегралы 1 рода
10.1.1 Определение и основные свойства
10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода
10.2 Несобственные интегралы 2 рода
10.2.1 Определение и основные свойства
10.2.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода

11. Интегралы зависящие от параметра+

12. Приложения определенных интегралов+

12.1 Площадь плоских фигур
12.2 Длина дуги кривой
12.3 Вычисление объема тел
12.4 Приложения в механике
Глава 5

6. Приложения дифференциального исчисления

6.1 Монотонность функции и знак ее производной

Простейшие применения дифференциального исчисления связаны с изучением поведения функций.

С помощью теоремы Лагранжа (формулы Тейлора первого порядка) можно доказать следующий результат.

Теорема. Пусть $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a,b)$. Тогда
1. Если она монотонно возрастает на этом интервале, то ее производная $f'(x)$ на этом интервале не отрицательна.
2. Если $f'(x)>0$ на интервале $(a,b)$, то $f(x)$ монотонно возрастает на этом интервале.

Доказательство.

Для доказательства первой части достаточно выписать отношение

\[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}, \]

которое в пределе при $\Delta x \to 0$ стремится к $f'(x_0)$. Пусть $\Delta x >0$, тогда по условию теоремы и числитель, и знаменатель этого выражения положительны. Переходя к пределу, получаем, что $f'(x_0) \geq 0$.

Для доказательства второй части достаточно написать формулу конечных приращений Лагранжа для двух любых двух точек $x_1,x_2 \in (a,b)$, $x_1 < x_2$: \[ f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi) (x_2-x_1). \]

Здесь точка $\xi $ лежит между $x_1, x_2$. В правой части равенства оба сомножителя положительны, так что имеем монотонность функции.

Контрольный вопрос.

Сформулируйте аналогичный результат для монотонно убывающих функций.

Задачи.

Найти интервалы монотонности функции

1. $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$.

2. $f(x)=x-e^x$.

3. $f(x)=x^2-2\ln x$.