1. Введение
2. Основные структуры
- 2.1 Элементы теории множеств
- 2.2 Операции с множествами
- 2.3 Функции и способы их задания
- 2.4 Числовые последовательности
3. Пределы. Непрерывные функции
- 3.1 Предел последовательности
- 3.1.1 Определения
- 3.1.2 Арифметика пределов
- 3.1.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.1.4 Признаки существования пределов
- 3.1.5 Вычисление пределов
- 3.1.6 Замечательный предел
- 3.2 Функции непрерывной переменной
- 3.2.1 Определения
- 3.2.2 Арифметика пределов
- 3.2.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.2.4 Признаки существования пределов
- 3.2.5 Замечательные пределы
- 3.2.6 Список важнейших предельных соотношений
- 3.3 Непрерывные функции
- 3.3.1 Определения
- 3.3.2 Основные свойства
- 3.3.3 Разрывы функции
4. Производная, дифференциальное исчисление
- 4.1 Производная
- 4.1.1 Определение производной
- 4.1.2 Производная от элементарных функций
- 4.1.3 Производная от суммы, произведения и частного функций
- 4.1.4 Производные от сложной функции, от обратной функции, от функции, заданной параметрически
- 4.1.5 Таблица производных
- 4.2 Первый дифференциал
- 4.2.1 Определение и основные свойства первого дифференциала
- 4.2.2 Геометрический смысл первого дифференциала
- 4.2.3 Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала
- 4.3 Свойства дифференцируемых функций
- 4.4 Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей
5. Высшие производные
- 5.1 Определение и свойства высших производных
- 5.2 Определение и свойства дифференциалов высших порядков
- 5.3 Теорема Тейлора
- 5.4 Формула Тейлора для некоторых функций
6. Приложения дифференциального исчисления
- 6.1 Монотонность функции и знак ее производной
- 6.2 Достаточное условие локального максимума/минимума
- 6.3 Решение задачи о глобальном максимуме/минимуме функции на замкнутом отрезке
- 6.4 Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба
7. Первообразная (неопределенный интеграл)
- 7.1 Определение и основные свойства первообразных
- 7.2 Таблица основных первообразных
- 7.3 Интегрирование по частям
- 7.4 Замена переменной в первообразной
8. Техника вычисления первообразных
- 8.1 Интегралы от дробно-рациональных функций
- 8.1.1 Полиномы, основные свойства
- 8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства
- 8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций
- 8.1.4 Вычисление первообразной от дробно-рациональной функции
- 8.2 Интегралы от тригонометрических функций
- 8.3 Интегралы от функций, содержащих иррациональности
- 8.4 Подстановки Эйлера
- 8.5 "Неберущиеся" интегралы
9. Определенный интеграл
- 9.1 Определение
- 9.2 Геометрический смысл определенного интеграла
- 9.3 Основные свойства
- 9.4 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.4.1 Интеграл как функция верхнего предела
- 9.4.2 Формула Барроу
- 9.4.3 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.5 Интегрирование по частям в определенном интеграле
- 9.6 Замена переменной в определенном интеграле
10. Несобственные интегралы
- 10.1 Несобственные интегралы 1 рода
- 10.1.1 Определение и основные свойства
- 10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода
- 10.2 Несобственные интегралы 2 рода
- 10.2.1 Определение и основные свойства
- 10.2.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода
11. Интегралы зависящие от параметра
12. Приложения определенных интегралов
9. Определенный интеграл
9.4 Формула Ньютона-Лейбница
Эта формула устанавливает связь между определенным интегралом и первообразной. Изначально эти два объекта имеют совершенно различной происхождение - первообразная возникает как решение чисто математической задачи обращения операции дифференцирования, определенный интеграл возник при решении задач с прикладным значением - вычислении площадей, объемов и т.д. Формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислять определенные интегралы в явном аналитическом виде.
9.4.1 Интеграл как функция верхнего предела
Пусть, для простоты, $f(x)$ - непрерывная функция на интервале $\left[a,b\right]$, так что она интегрируема на любом подинтервале этого интервала. Рассмотрим новую функцию, заданную соотношением
\[ F(x)=\int _a^xf(s)ds, \]считая $x \in \left[a,b\right]$. Из интегрируемости $f(s)$ на любом подинтервале следует, что для любого $x \in \left[a,b\right]$ правая часть этого соотношения имеет смысл, так что мы действительно построили новую функцию. Обсудим ее свойства.
Теорема. Пусть $f(s)$ непрерывна на интервале $\left[a,b\right]$. Тогда $F(x)$ тоже непрерывная функция при $x \in \left[a,b\right]$.
Доказательство.
9.4.2 Формула Барроу
Рассмотрим дифференциальные свойства функции
\[ F(x)=\int _a^xf(s)ds, \]полагая $f(x)$ непрерывной при всех интересующих нас $x$. Для этого составим отношение
\[ A(x,x_0)=\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\frac{1}{x-x_0}\int _{x_0}^xf(s)ds. \]В силу непрерывности $f(x)$ для любого интервала $ \left[x_0, x\right]$ можно применить теорему об интегральном среднем: существует точка $c\in (x_0, x)$ такая, что
\[ \int _{x_0}^xf(s)ds=f(c)\cdot (x-x_0). \]Таким образом, $A(x,x_0)=f(c). $ При $x \rightarrow x_0$ имеем соответственно $c \rightarrow x_0$, так что в силу непрерывности $f(x)$
\[ \lim _{x \rightarrow x_0}A(x,x_0)=\lim _{x\rightarrow x_0}f(c)=f(x_0). \]Итак, получаем формулу Барроу:
\[ \frac{d}{dx}\int _a^xf(s)ds=f(x). \]9.4.3 Формула Ньютона-Лейбница
Пусть $f(x)$ непрерывна при всех интересующих нас $x$,
\[ F(x)=\int _a^xf(s)ds. \]Тогда формула Барроу утверждает, что
\[ \frac{d}{dx}F(x)=f(x), \]т.е. $F(x)$ является первообразной функции $f(x)$. Пусть $G(x)$ - произвольная первообразная $f(x)$. Тогда из свойств первообразных следует, что $F(x)$ и $G(x)$ отличаются только на константу, $F(x)=G(x)+C$. Определим эту константу. Для этого подставим в последнее равенство $x=a$. При этом
\[ F(a)=\int _a^af(s)ds=0, \]так что $G(a)+C=0$. Следовательно, $C=-G(a)$ и из наших соотношений следует:
\[ \int _a^xf(s)ds=F(x)=G(x)-G(a). \]Заменяя $x$ на $b$, приходим к стандартной форме формулы Ньютона-Лейбница:
\[ \int _a^bf(s)ds=G(x)|^b_a=G(b)-G(a). \]Здесь $G(x)$ - произвольная первообразная функции $f(x)$.
Формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислять определенные интегралы в явном аналитическом виде.
Пример.
Задачи.