Векторные / линейные пространства

Пусть вектор \(X\) принадлежит векторному пространству \(\mathit{L}\), выберем в этом пространстве какой-нибудь базис \(\{e\}\). Согласно определению базиса, вектор \(X\) можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, и коэффициенты этого представления, \[ X=\sum _{m=1}^n\lambda _me_m, \quad \quad(50) \] числа \(\lambda _m, m=1,2,...,n\) - координаты вектора \(X\) в базисе \(\{e\}\). Если в векторном пространстве ввести новый базис \(\{f\}\), то вектор \(X\) можно представить и иным способом, \[ X=\sum _{k=1}^n\xi _kf_k, \quad \quad(51) \] числа \(\xi _k,k=1,2,...,n\) - координаты вектора \(X\) в новом базисе. Возникает естественный вопрос: как связаны между собой координаты вектора в старом и новом базисе?

Пусть \(A\) -матрица перехода от базиса \(\{f\}\) к базису \(\{e\}\), \[ e_m=\sum_{k=1}^na_{km}f_k, m=1,2,...,n. \quad \quad (52) \]

Подставляя (52) в (50), получаем: \[ X=X=\sum _{m=1}^n\lambda _m\left(\sum_{k=1}^na_{km}f_k\right)=\sum_{k=1}^n\left(\sum _{m=1}^na_{km}\lambda _m\right)f_k. \quad \quad(53) \]

Координаты вектора в базисе определяются однозначно, так что сравнивая (51) и (53), получаем: \[ \xi _k=\sum _{m=1}^na_{km}\lambda _m, k=1,2,...,n. \quad \quad(54) \]

Если все координаты вектора \(X\) собрать в \(n-\)столбец, \(\Xi = (\xi _1, \xi_2,...,\xi_n)^T\), \(\Lambda = (\lambda _1, \lambda_2,...,\lambda_n)^T\), то (54) в матричных обозначениях принимает вид: \[ \Xi=A^T\Lambda. \]

Если матрица \(C\) описывает переход от базиса \(\{e\}\) к базису \(\{f\}\), то мы имеем \(A=C^{-1}\), так что в итоге получаем: \[ \Xi=(C^T)^{-1}\Lambda. \]

Это и есть искомое соотношение, выражающее связь координат одного вектора в разных базисах.

Предыдущий раздел

Назад

Далее

Следующий раздел