Системы линейных алгебраических уравнений

При решении систем линейных уравнений обсуждаются 3 вопроса: а) существует ли решение системы уравнений, б) сколько разных решений имеет система уравнений, в) алгоритм решения. Ниже излагаются основные результаты в этой области математики, позволяющие исчерпывающим образом ответить на эти вопросы.

Система двух уравнений, два неизвестных

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений \[ a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1, \quad \quad(17) \] \[ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2, \quad \quad(18) \]

числа \(a_{ik}, b_i\), \(i,k=1,2\) считаются заданными, требуется найти неизвестные \(x_1,x_2\) . Эту систему можно решить исключением неизвестных. Например, умножим первое уравнение на \(a_{22}\) и вычтем второе, умноженное на \(a_{12}\), получим:

\[ (a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})x_1=b_1a_{22}-b_2a_{12}, \]

так что если \(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} \neq 0, \) \[ x_1=\frac{b_1a_{22}-b_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}. \quad \quad(19) \]

Если второе уравнение умножить на \(a_{11}\) и вычесть из него первое уравнение, умноженное на \(a_{21}\), получим: \[ x_2=\frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}. \quad \quad(20) \]

Введем следующие обозначения. Матрицей коэффициентов системы уравнений (17)-(18) назовем матрицу \[ A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right), \] столбец правых частей системы \[ B=\left (\begin{array}{c} b_1 \\b_2 \end{array} \right). \]

Тогда формулы (19), (20) можно переписать следующим образом: \[ x_1=\frac{detC_1}{detA}, x_2=\frac{detC_2}{detA}, \quad \quad(21) \] где матрица \(C_k\), \(k=1,2\), получается из матрицы \(A\) заменой ее \(k\)-того столбца на столбец \(B\). Формулы (21) называются формулами Крамера для системы из 2 уравнений с двумя неизвестными. Они описывают единственное решение системы уравнений в данном случае.

Система \(n\) уравнений, \(n\) неизвестных

Рассмотрим систему \(n\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными, \[ a_{11}x_1+a_{12}x_2+ ....+a_{1n}x_n=b_1, \quad \quad(22) \] \[ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{1n}x_n=b_2, \quad \quad(23) \] \[ ........................................................... \] \[ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n. \quad \quad(24) \]

Матрицей коэффициентов системы уравнений назовем матрицу \[ A=\left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} &\ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &\ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} &a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) , \] образуем столбец правых частей системы \[ B=\left (\begin{array}{cccc} b_1 & b_2 & \ldots &b_n \end{array} \right)^T. \]

Cправедливо следующее утверждение.

Теорема Крамера. Пусть \(detA \neq 0\). Тогда система уравнений (22)-(24) имеет единственное решение, которое описывается формулами: \[ x_k=\frac{detC_k}{detA}, k=1,2,...,n, \quad \quad(25) \] где матрица \(C_k\) получается из матрицы \(A\) заменой ее \(k-\)го столбца столбцом \(B\).

Cоотношения (25) называются правилом Крамера.

Решение системы уравнений с помощью обратной матрицы

В том случае, когда матрица коэффициентов системы уравнений невырождена, для построения решений системы можно использовать обратную матрицу.

Уравнения (22)-(24) можно записать в более экономичном виде \[ \sum _{m=1}^na_{km}x_m=b_k, k=1,2,...,n. \quad \quad(26) \]

Далее, введем столбец неизвестных \(X=(x_1,x_2,....,x_n)^T\), тогда в левой части соотношения (26) можно опознать матричное умножение, так что систему уравнений (26) можно записать в наших матричных терминах в виде матричного уравнения, \[ AX=B, \quad \quad(27) \] решение которого уже описано ранее в терминах обратной матрицы: \[ X=A^{-1}B. \]

В целом решение систем методом Крамера и методом обратной матрицы требует выполнения 2 условий: матрица коэффициентов системы должна быть квадратной ( т.е. число уравнений должно совпадать с числом неизвестных) и эта матрица должна быть невырожденной. К тому же практическая реализация этих методов связана с весьма громоздкими вычислениями, так что они имеют лишь теоретическое значение. На практике используют существенно более простой в реализации метод Гаусса, который к тому же позволяет решать и более общие системы уравнений. Этот метод описан ниже.

Предыдущий раздел

Назад

Далее

Следующий раздел