Векторные / линейные пространства

Подпространства

Определение. Пусть \(L\) - подмножество векторного пространства \( \mathit{L}\), обладающее следующими свойствами: для любых \(u_1,u_2 \in \mathit{L}\) и любых чисел \(c_1,c_2\) линейная комбинация \(c_1u_1+c_2u_2 \in \mathit{L}\). Такое подмножество называется подпространством \(\mathit{L}\).

Пример. Подмножество \(\mathit{L}\), состоящее из одного нулевого элемента, является подространством \(\mathit{L}\). Само \(\mathit{L}\) также является своим подпространством. Эти подпространства называются тривиальными.

Одним из естественных способов построения подпространств является линейная оболочка некоторого набора векторов.

Определение. Пусть \(u_1,u_2,...,u_k \in \mathit{L} \) - некоторый набор векторов. Рассмотрим множество их линейных комбинаций - векторов, представимых в виде \(\sum _{s=1}^kc_su_s\) для некоторых чисел \(c_1,c_2,...,c_k\). Это множество называется линейной оболочкой векторов \(u_1,u_2,...,u_k\).

Утверждение. Линейная оболочка векторов является подпространством \(\mathit{L}\).

Контрольный вопрос:

Докажите это утверждение.

Операции сложения элементов этого множества и умножения их на число не выводят из этого множества, оно содержит нулевой элемент, так что оно - подпространство.

Непосредственно из наших определений следует, что подпространство само является векторным пространством.

Задачи:

1. Докажите, что объединение двух подпространств \( L_1,L_2\) является подпространством тогда и только тогда, когда либо \(L_1 \in L_2\), либо \(L_2 \in L_1\).

2. Докажите, что пересечение двух подпространств является подпространством.

3. Найти базис и размерность линейной оболочки следующего набора векторов: \[ a_1=(1,0,0,-1), a_2=(2,1,1,0), a_3=(1,1,1,1), a_4=(1,2,3,4), a_5=(0,1,2,3). \]

Предыдущий раздел Назад Следующий раздел