Векторные / линейные пространства

Пусть в векторном пространстве \(\mathit{L}\) введены базисы \(\{e_1,e_2,....,e_n\}\), \(\{f_1,f_2,....,f_n\}\), \(\{g_1,g_2,....,g_n\}\). Тогда можно ввести матрицу \(C\) перехода от базиса \(\{e\}\) к базису \(\{f\}\) и матрицу \(D\) перехода от базиса \(\{f\}\) к базису \(\{g\}\), так что выполняются соотношения \[ f_k=\sum_{m=1}^nc_{mk}e_m, k=1,2,...,n. \] \[ g_s=\sum_{k=1}^nd_{ks}f_k,s=1,2,...,n, \]

Подставляя первые соотношения во вторые, получаем: \[ g_s=\sum_{k=1}^nd_{ks}f_k=\sum_{k=1}^nd_{ks}\left( \sum_{m=1}^nc_{mk}e_m\right)=\sum_{m=1}^ne_m\left(\sum_{k=1}^nc_{mk}d_{ks} \right),s=1,2,...,n, \] Таким образом, матрица \(B\) перехода от базиса \(\{e\}\) к базису \(\{g\}\) имеет вид: \[ b_{ms}=\sum_{k=1}^nc_{mk}d_{ks} , 1 \leq m,s \leq n. \] С помощью матричного умножения это соотношение можно записать в виде \(B^T=C^TD^T\), или, транспонируя, \(B=DC\).

Предыдущий раздел

Назад

Далее

Следующий раздел