Векторные / линейные пространства

Определение. Пусть \(u_1,u_2,...,u_m \in \mathit{L}\), числа \(c_1,c_2,...,c_m \in \mathbb{R}\). Тогда вектор \[ u=\sum _{k=1}^{m}c_ku_k \] называется линейной комбинацией векторов \(u_1,u_2,...,u_m\), а числа \(c_1,c_2,...,c_m \) - коэффициентами этой линейной комбинации.

Пример. Пусть \(\mathit{L}\) - векторное пространство 2-столбцов, \(u_1=(1,0)^T, u_2=(0,1)^T\), тогда их линейная комбинация с коэффициентами \(c_1,c_2\) соответственно равна \(u=c_1u_1+c_2u_2=c_1(1,0)^T+c_2(0,1)^T=(c_1,c_2)^T\).

Определение. Пусть для заданного набора векторов \(u_1,u_2,...,u_m \in \mathit{L}\) существуют числа \(c_1,c_2,...,c_m \in \mathbb{R}\) такие, что не все они равны нулю, а линейная комбинация \[ \sum _{k=1}^{m}c_ku_k=0 \] (справа стоит нулевой вектор!) Тогда вектора \(u_1,u_2,...,u_m \) называются линейно зависимыми . Если чисел \(c_1,c_2,...,c_m \) с такими свойствами не существует, вектора \(u_1,u_2,...,u_m \) называются линейно независимыми.

Пример. Пусть \(\mathit{L}\) - векторное пространство полиномов степени 2, рассмотрим следующий набор функций: \(p_1(x)=x, \quad p_2(x)=x+x^2, \quad p_3(x)=1+2x^2\). Проверим, что эти функции линейно независимы. Составим для этого их линейную комбинацию \(\alpha _1p_1(x)+\alpha _2p_2(x)+\alpha _3p_3(x)= \alpha _3+x\cdot (\alpha _1+\alpha _2)+x^2\cdot (\alpha _2+2\alpha _3)\). Если этот полином равняется нулевому элементу, то \(\alpha _3=0, \quad \alpha _1+\alpha _2=0, \quad \alpha _2+2\alpha _3=0\). Из этих равенств следует, что \(\alpha _1=\alpha _2=\alpha _3=0\), что означает линейную независимость функций \(p_1(x), p_2(x), p_3(x)\).

Утверждение. Для того, чтобы вектора \(u_1,u_2,...,u_m \in \mathit{L}\) были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.

Предыдущий раздел

Назад

Далее

Следующий раздел