Векторные / линейные пространства

Базис и размерность векторного пространства

Определение. Пусть в векторном пространстве \(\mathit{L}\) существует набор векторов \(e_1,e_2,...,e_n\) со следующими свойствами:

1. Они линейно независимы,

2. Любой другой вектор из \(\mathit{L}\) является их линейной комбинацией.

Тогда говорят, что вектора \(e_1,e_2,...,e_n\) образуют базис пространства \(\mathit{L}\), а число \(n\) называют размерностью \(\mathit{L}\).

Размерность векторного пространства \(\mathit{L}\) обозначается \(dim\mathit{L}\).

В одном и том же векторном пространстве можно ввести разные базисы.

Пример. Пусть \(\mathit{L}\) - векторное пространство \(2\)-столбцов. Положим \(e_1=(1,0)^T, e_2=(0,1)^T\), \(f_1=(1,1)^T, f_2=(1,-1)^T\). Нетрудно показать, что эти вектора в каждой паре - линейно независимы. Любой вектор \(u=(\xi _1,\xi_2)^T\) можно представить в виде линейной комбинации векторов этих пар: \(u=\xi_1e_1+\xi_2e_2=\frac{1}{2}(\xi_1+\xi_2)f_1+\frac{1}{2}(\xi_1-\xi_2)f_2\).

Пример. Пусть \(\mathit{L}\) - векторное пространство полиномов степени 2, рассмотрим следующий набор функций: \(p_1(x)=x, \quad p_2(x)=x+x^2, \quad p_3(x)=1+2x^2\). Покажем, что эти полиномы составляют базис векторного пространства. Их линейная независимость обсуждалась выше. Далее, покажем, что любой элемент \(f(x)=c_1+c_2x+c_3x^2 \in \mathit{L}\) может быть представлен в виде линейной комбинации \(\alpha _1p_1(x)+\alpha _2p_2(x)+\alpha _3p_3(x)\) для подходящих \(\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\). Подставляя выражения для функций \(p_1(x), p_2(x), p_3(x)\) и приравнивая коэффициенты при различных степенях \(x\), получаем три уравнения: \(\alpha _3=c_1, \quad \alpha _1+\alpha _2=c_2, \quad \alpha _2+2\alpha _3=c_3\). Нетрудно проверить, что эти уравнения имеют единственное решение \(\alpha _3=c_1, \quad \alpha _2=c_3-2c_1, \alpha _1=c_2+2c_1-c_3\).

Возьмем произвольный вектор \(u \in \mathit{L}\). Тогда существует представление этого вектора в виде линейной комбинации векторов базиса, \[ u=\sum_{k=1}^n \xi_k e_k. \]

Определение. Числа \(\xi_k\), \(k=1,2,...,n\), называются координатами вектора \(u\) в базисе \(e_1,e_2,...,e_n\).

Утверждение. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.

Контрольный вопрос:

Докажите это утверждение.

Если \( x = \sum_{k=1}^n a_k e_k = \sum_{k=1}^n b_k e_k \), то \( \sum_{k=1}^n (a_k - b_k) e_k = 0\), а это равенство \( ({e_1, e_2, ..., e_n} \) - базис!) может выполняться только в том случае, когда \(a_k - b_k = 0 \) для всех \(k \)

Пример. Пусть \(\mathit{L}\) - векторное пространство \(n\)-столбцов. Положим \(e_1=(1,0,0,...,0)^T, e_2=(0,1,0,...,0)^T, ...., e_n=(0,0,....,0,1)^T\). Тогда любой столбец \(u=(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)^T=\sum_{k=1}^n\xi _ke_k\), так что числа \(\xi _k\) представляют собой координаты вектора \(u\) в данном базисе.

Довольно часто в приложениях возникает задача о проверке того, является ли данный набор векторов линейно независимым, составляют ли они базис в данном пространстве, или задача о выделении в данном наборе векторов такой совокупности, которая образует базис. Все эти задачи можно решить с помощью теоремы о базисном миноре. А именно, обычно вектора представляются в виде разложения по некоторому базису, так что можно их представить в виде строк. Составим из строк матрицу, найдем ее ранг и базисный минор. Ранг в данном случае будет равен числу линейно независимых векторов в нашем наборе, а строки базисного минора соответствуют искомым линейно независимым векторам. Если ранг матрицы будет равен размерности исходного пространства, то найденные линейно независимые вектора составляют его базис.

Задачи:

1. Выясните, являются ли линейно независимыми следующие вектора: \[ a_1=(2,-3,1), \quad a_2=(3,-1,5),\quad a_3=(1,3,2). \]

2. Выясните, являются ли линейно независимыми следующие вектора: \[ a_1=(1,0,0,2,5), \quad a_2=(0,1,0,3,4),\quad a_3=(0,0,1,4,7), \quad a_4=(2,-3,4,11,12). \]

3. Пусть даны линейно независимые вектора \(v_1,v_2,...,v_n\). Являются ли линейно независимыми вектора \(v_1-v_2,v_2-v_3,...,v_{n-1}-v_n,v_n\)?

4. Найти все значения параметра \(\lambda\), при котором вектор \(b\) является линейной комбинацией векторов \(a_1,a_2,a_3\). \[ a_1=(3,2,5), a_2=(2,4,7), a_3=(5,6,7), b=(1,3,5). \]

5. Пусть \(dim \mathit{L}=n< m\). Доказать, что любой набор \(m\) векторов является линейно зависимым.

6. Даны вектора \(a_1=(3,-2), \quad a_2=(-2,1), \quad c=(7,-4)\). Разложить вектор \(c\) по базису векторов \(a_1,a_2\).

7. Даны вектора \(a_1=(3,-2,1), \quad a_2=(-1,1,-2), \quad a_3=(2,1,-3), \quad c=(11,-6,5)\). Разложить вектор \(c\) по базису векторов \(a_1,a_2,a_3\).

Предыдущий раздел Назад Далее Следующий раздел