Матрицы и действия с ними, определители

Определение

Для квадратной матрицы порядка \(n\) вводится важнейшая ее характеристика, называемая определителем (иногда употребляется название детерминант ). Это число, которое по определенному довольно сложному правилу сопоставляется матрице. Для определителя матрицы \(A=\{A_{ik}\}\) применяют следующие обозначения: \[ detA=|A|=\left| \begin{array}{ccccc} A_{11} & A_{12} & A_{13} &\ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} &\ldots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{n1} &A_{n2} & A_{n3} & \ldots & A_{nn} \end{array} \right| , \] где прямые скобки отличают определитель от матрицы (при обозначении которой используют круглые скобки). В зависимости от удобства используется то или иное обозначение из приведенных выше. Число \(n\) при этом называют также и порядком определителя. Про числа \(A_{11}, A_{22}, ..., A_{nn}\) говорят, что они стоят на главной диагонали матрицы (и, соответственно, определителя).

Мы будем определять понятие определителя матрицы последовательно по порядку \(n\). Рассмотрим сначала матрицу порядка 1, которая содержит единственный элемент (есть 1 строка и 1 столбец!). Для такой матрицы определитель полагается равным значению ее элемента.

Для матрицы порядка 2, \[ A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \] определитель задается соотношением \[ detA=|A|=\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right|=ad-bc. \]

Пример. Пусть \[ A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} \right), \] тогда ее определитель равен \(detA=2\cdot 5-3\cdot4=-2\).

Далее, рассмотрим матрицы порядка 3, \[ A=\left( \begin{array} {ccc} a_{11} &a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) . \] Выберем первую строку этой матрицы. Тогда полагают (выписывая формулу, следуя по этой строке):

где величины \(\widetilde{A}_{ik}\), которые называются алгебраическими дополнениями элементов матрицы \(a_{ik}\), определяются соотношениями

$$\widetilde{A}_{11}=(-1)^{1+1}\left| \begin{array}{cc} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right|, \widetilde{A}_{12}=(-1)^{1+2}\left| \begin{array}{cc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right|, \widetilde{A}_{13}=(-1)^{1+3}\left| \begin{array}{cc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right|. \quad \quad (2)$$

Правило вычисления \( \widetilde{A}_{ik}\):

а) знаковый множитель определяется суммой номера строки и столбца \(i+k\),

б) второй множитель получается так: в исходной матрице вычеркивается строка \(i\) и столбец \(k\) и вычисляется определитель оставшейся матрицы (она порядка 2 и рецепт ее вычисления см. выше).

Формулы (2) выписаны для случая, когда номер строки равен 1, однако аналогичным образом можно ввести \( \widetilde{A}_{ik}\) для любых номеров строк.

Формула (1) называется разложением определителя по первой строке. Аналогичным образом можно написать разложение определителя по любой строке,

$$detA=a_{i1}\cdot \widetilde{A}_{i1}+a_{i2}\cdot \widetilde{A}_{i2}+a_{i3}\cdot \widetilde{A}_{i3}, \quad \quad(3)$$ \(i=1,2,3\), и для любого столбца, $$detA=a_{1k}\cdot \widetilde{A}_{1k}+a_{2k}\cdot \widetilde{A}_{2k}+a_{3k}\cdot \widetilde{A}_{3k}, \quad \quad(4)$$ \(k=1,2,3.\)

Утверждение 1. Значение определителя, которое получается в результате вычисления по формулам (3), (4), одно и то же (т.е. не зависит от выбора номера строки или столбца).

Таким образом, определение определителя порядка 3 завершено.

Теперь рассмотрим матрицу порядка \(n=4\). Для нее мы напишем формулу, аналогичную (3), которая, однако, будет включать 4 слагаемых,

\[detA=a_{i1}\cdot \widetilde{A}_{i1}+a_{i2}\cdot \widetilde{A}_{i2}+a_{i3}\cdot \widetilde{A}_{i3}+a_{i4}\cdot \widetilde{A}_{i4}, \quad \quad (5)\] или аналогичную (4), причем значения \( \widetilde{A}_{ik}\) вычисляются по тому же правилу, что и ранее. При этом следует вычислять определители 3-го порядка (уже определенные выше). Справедлив аналог Утверждения 1.

Продолжая процедуру, мы можем определить значение определителя произвольного порядка через значения определителей меньшего порядка. Для произвольного порядка \(n\) справедливы формулы

\[detA=a_{i1}\cdot \widetilde{A}_{i1}+a_{i2}\cdot \widetilde{A}_{i2}+a_{i3}\cdot \widetilde{A}_{i3}+...+a_{in}\cdot \widetilde{A}_{in}, \quad \quad(6)\] \(i=1,2,3,...,n,\) \[detA=a_{1k}\cdot \widetilde{A}_{1k}+a_{2k}\cdot \widetilde{A}_{2k}+a_{3k}\cdot \widetilde{A}_{3k}+...+a_{nk}\cdot \widetilde{A}_{nk}, \quad \quad(7) \] \(k=1,2,...,n,\) (так что Утверждение 1 справедливо для любого порядка матрицы, если вместо (3) и (4) иметь в виду (6) и (7) ). Величины \( \widetilde{A}_{ik}\) вычисляются согласно приведенным выше правилам и являются, с точностью до знака, определителями порядка \(n-1\). Эти формулы называются соответственно разложением определителя по строке \(i\) или столбцу \(k\).

Замечание. Удобно использовать для записи формул типа (7) обозначение суммирования \[ det(A)= \sum _{m=1}^na_{mk}\cdot \widetilde{A}_{mk}, \] где под знаком суммирования указаны индекс суммирования (в данном случае \(m\)) и начальное значение (в данном случае \(m=1\)). Это обозначение позволяет экономично записывать длинные формулы.

Замечание. Мы вводим определитель матрицы \(n-\)го порядка с помощью рекуррентной (последовательной по порядку \(n\)) процедуры. Существует и прямое определение этого понятия, требующее существенно более громоздкого рассмотрения. Если его использовать, соотношения (6), (7) становятся теоремами.

Пример. Вычислим определитель \[ \left| \begin{array}{ccc} 1 &2 & 3 \\ 3& 7 & 4 \\ 4 & -1 & 3 \end{array} \right| . \] Напишем его разложение по второму столбцу, \[ \left| \begin{array}{ccc} 1 &2 & 3 \\ 3& 7 & 4 \\ 4 & -1 & 3 \end{array} \right| =2\cdot (-1)^{1+2}\cdot \left|\begin{array}{cc} 3& 4 \\ 4 & 3 \end{array} \right| + 7\cdot (-1)^{2+2}\cdot \left|\begin{array}{cc} 1& 3 \\ 4 & 3 \end{array} \right| + (-1)\cdot (-1)^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc} 1& 3 \\ 3 & 4 \end{array} \right|= \] \[ 2\cdot (-1)\cdot(3\cdot 3-4\cdot 4)+7\cdot (1\cdot 3-3\cdot 4)+(-1)\cdot (-1) \cdot (1\cdot 4-3\cdot 3)= \] \[ -2\cdot (-7)+7\cdot (-9) -5=-54. \]

Элементарные свойства определителей

С помощью приведенного выше определения можно вывести следующие свойства определителей.

1. Если у определителя переставить местами любые 2 строки, он изменит знак.

Следствие. Если у определителя есть 2 одинаковые строки, он равен нулю.

2. Если к строке определителя прибавить любую другую строку, умноженную на произвольное число, значение определителя не изменится.

Пример. Возьмем определитель \[D=\left| \begin{array}{ccc} 1 &2 & 3 \\ 3& 7 & 4 \\ 4 & -1 & 3 \end{array} \right| . \quad \quad(8)\] Прибавим ко второй строке первую, умноженную на \(-3\), к третьей - первую, умноженную на \(-4\). Получим: \[ D=\left| \begin{array}{ccc} 1 &2 & 3 \\ 3 +1\cdot (-3)& 7 +2\cdot (-3) & 4 +3\cdot (-3) \\ 4 +1\cdot (-4)& -1 +2\cdot (-4) & 3+3\cdot (-4) \end{array} \right| =\left| \begin{array}{ccc} 1 &2 & 3 \\ 0 & 1 & -5 \\ 0 & -9 & -9 \end{array} \right|= \] \[ 1\cdot (1\cdot (-9)-(-5)\cdot(-9))=-54. \] В последнем переходе мы использовали разложение по первому столбцу, в котором только один элемент отличен от нуля, и только он приводит к ненулевому слагаемому (нулевые мы не выписывали).

3. Если элементы строки обладают общим множителем, его можно вынести за знак определителя.

Пример. Возьмем определитель \[ D=\left| \begin{array}{ccc} 5 &10 & 15 \\ 3& 7 & 4 \\ 4 & -1 & 3 \end{array} \right| . \] Элементы первой строки обладают общим множителем 5. Выносим его за знак определителя, получаем: \[ D=5\cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 7 & 4 \\ 4 & -1 & 3 \end{array} \right|=5\cdot (-54)=-270. \]

4. Пусть \(i\)-ая строка определителя может быть представлена в виде суммы пары строк (не обязательно последние - строки определителя), \( a_{ik}=b_{ik}+c_{ik}\), \(k=1,2,...,n\). Тогда имеет место равенство: \[ \left | \begin{array}{cccc} \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{in}\\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \end{array} \right|= \left | \begin{array}{cccc} \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\b_{i1}&b_{i2}&\ldots &b_{in}\\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \end{array} \right|+ \left | \begin{array}{cccc} \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\c_{i1}&c_{i2}&\ldots &c_{in}\\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \end{array} \right| \] В этой формуле не указанные явно элементы совпадают, если стоят на одинаковых позициях.

Аналогичные свойства справедливы и при замене строк на столбцы.

Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали. То же самое для нижнетреугольной матрицы.

Вычисление определителей

Описанные выше свойства определителей позволяют быстро вычислять их значение (при не очень больших значениях \(n\), обычно в пределах 3-4-5). Общая идея такова: с помощью вычитаний из строк других строк с подходящими множителями добиться того, чтобы в какой-то строке или столбце появилось много нулей. Тогда разложение определителя по этой строке даст малое число слагаемых. (Аналогичные манипуляции возможны и со столбцами). Именно такая техника была применена выше для вычисления определителя (8).

Пример. Пусть \[ D=\left| \begin{array}{cccc} 1 &1 & 1 &1 \\ 1& 2 &3& 4 \\ 1& 4& 9 & 16 \\1 &8 &27 &64 \end{array} \right| . \] Вычтем первую строку из второй, из третьей, из четвертой. Получим: \[ D=\left| \begin{array}{cccc} 1 &1 & 1 &1 \\ 0& 1 &2& 3 \\ 0& 3& 8 & 15 \\0 &7 &26 &63 \end{array} \right| . \] Раскладывая определитель по первому столбцу, получаем: \[ D=\left| \begin{array}{ccc} 1 &2& 3 \\ 3& 8 & 15 \\7 &26 &63 \end{array} \right| . \] Вычтем первую строку 3 раза из второй и 7 раз из третьей, получаем: \[ D=\left| \begin{array}{ccc} 1 &2& 3 \\ 0& 2 & 6 \\0 & 12 & 42 \end{array} \right| . \] Раскладывая этот определитель по первому столбцу, находим: \[ D=\left| \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ 12 &42 \end{array} \right| =84-72=12. \]

Иногда при вычислении определителя можно использовать его явную или скрытую симметрию.

Пример. Пусть \[ D=\left| \begin{array}{cccc} 4 &1 & 1 &1 \\ 1& 4 &1& 1 \\ 1& 1& 4 & 1 \\1 &1 &1 &4 \end{array} \right| . \] Прибавим к первой строке все остальные. Получим: \[ D=\left| \begin{array}{cccc} 7 &7 & 7 &7 \\ 1& 4 &1& 1 \\ 1& 1& 4 & 1 \\1 &1 &1 &4 \end{array} \right| . \] Элементы первой строки имеют общий множитель 7. Выносим его, так что \[ D=7 \cdot \left| \begin{array}{cccc} 1 &1 & 1 &1 \\ 1& 4 &1& 1 \\ 1& 1& 4 & 1 \\1 &1 &1 &4 \end{array} \right| . \] Вычитаем теперь первую строку определителя из всех остальных. При этом \[ D=7 \cdot \left| \begin{array}{cccc} 1 &1 & 1 &1 \\ 0& 3 &0& 0 \\ 0& 0& 3 & 0 \\0 &0 &0 &3 \end{array} \right| . \] В итоге пришли к вычислению определителя верхнетреугольной матрицы, так что \(D=7\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 =189\).

Назад

Далее

Следующий раздел