Линейные операторы

Из самого определения матричной формы линейного оператора следует, что она зависит от выбора базиса. Пусть в векторном пространстве \( \mathit{L}\) заданы линейный оператор \(A\) и два базиса, \(\{e\}\) и \(\{f\}\), так что \[ Ae_k=\sum _{r=1}^n\alpha _{rk}e_r, \quad k=1,2,...,n, \quad \quad (56) \] \[ Af_m=\sum _{s=1}^n\beta _{sm}f_s, \quad m=1,2,...,n, \quad \quad(57) \] \[ f_t=\sum _{p=1}^nc _{pt}e_p, \quad t=1,2,...,n. \quad \quad(58) \] Здесь в правой части (56) определена матричная форма оператора \(A\), соответствующая базису \(\{e\}\), в правой части (57) - определена матричная форма оператора \(A\), соответствующая базису \(\{f\}\), в правой части (58) - матрица перехода от базиса \(\{e\}\) к базису \(\{f\}\). Наша задача - установить связь между матрицами \(\alpha \) и \(\beta \). Для этого мы подставляем (58) в правую и левую части (57). В левой части имеем: \[ Af_m=A\left ( \sum _{p=1}^nc _{pm}e_p \right )=\sum _{p=1}^nc _{pm}\left (A e_p \right )=\sum _{p=1}^nc _{pm}\left (\sum _{r=1}^n\alpha _{rp}e_r \right )= \] \[ \sum _{r=1}^n e_r \left (\sum _{p=1}^n \alpha _{rp}c _{pm} \right ). \] В правой части: \[ \sum _{s=1}^n\beta _{sm}f_s=\sum _{s=1}^n\beta _{sm}\left ( \sum _{r=1}^nc _{rs}e_r\right )=\sum _{r=1}^n e_r \left (\sum _{s=1}^nc _{rs} \beta _{sm} \right ). \] Разложение вектора по базису однозначно, так что, сравнивая результаты, получаем: \[ \sum _{p=1}^n \alpha _{rp}c _{pm}=\sum _{s=1}^nc _{rs} \beta _{sm}, \quad r,m=1,2,...,n. \] В этих формулах можно опознать результат матричного умножения, так что в матричном виде имеем: \[ \alpha C^T=C^T \beta, \] или, в окончательном виде, \[ \beta=(C^T)^{-1}\alpha C^T. \] Эта формула связывает матричные формы линейного оператора, соответствующие различным базисам векторного пространства.

Предыдущий раздел

Назад

Далее

Следующий раздел