Линейные операторы

Более детальное рассмотрение показывает, что последний пример в некотором смысле является общим. А именно, пусть в векторном пространстве \(\mathit{L}\) фиксирован базис \(\{e_1,e_2,...,e_n\}\). Рассмотрим вектора \(Ae_k, k=1,2,...,n\). Эти вектора можно разложить по базису, так что мы имеем: \[ Ae_k=\sum _{m=1}^n\alpha _{mk}e_m \quad \quad(55) \] для некоторых чисел \(\alpha _{mk}, m,k=1,2,...,n\). Таким образом, появляется матрица \(\alpha\).

Определение. Матрица \(\alpha\), определяемая соотношением (55), называется матричной формой оператора \(A\), соответствующей базису \(\{e_1,e_2,...,e_n\}\).

Замечание. Как следует из определения (55), \(k-\)ый столбец матрицы \(\alpha \) - это разложение вектора \(Ae_k\) по базису векторов \(\{e\}\).

Пусть \(u=\sum _{k=1}^n\zeta _ke_k\) и вычислим \(Au\): \[ Au=A\left(\sum _{k=1}^n\zeta _ke_k\right)=\sum _{k=1}^n\zeta _kAe_k=\sum _{k=1}^n\zeta _k\left(\sum _{m=1}^n\alpha _{mk}e_m\right)=\sum _{m=1}^ne_m\left(\sum _{k=1}^n\alpha _{mk}\zeta _k\right) \] Таким образом, мы вычислили координаты вектора \(Au\) в базисе \(\{e_1,e_2,...,e_n\}\). Если эти координаты обозначить \(\xi _m\), \(m=1,2,...,n\), то последнее соотношение можно записать в виде: \[ \xi _m=\sum _{k=1}^n\alpha _{mk}\zeta _k. \]

Это совпадает с формулами последнего примера. Этот факт означает следующее. Если в векторном пространстве \(\mathit{L}\) фиксирован базис, любой линейный оператор (в частности, описание его действия на вектора) можно свести к рассмотрению его матричной формы - иными словами, можно работать с матрицами вместо линейных операторов.

Предыдущий раздел

Назад

Далее

Следующий раздел