Скалярное произведение и евклидовы пространства
Скалярное произведение
Мы рассмотриваем векторное пространство \( \mathit{L}\).
1. \((x,y)=(y,x)\),
2. \((x+z,y)=(x,y)+(z,y)\),
3. \((\lambda x,y)=\lambda (x,y)\),
4. \((x,x) \geq 0\), причем \((x,x)=0 \Leftrightarrow \) \(x=0\).
Тогда говорят, что на векторном пространстве \( \mathit{L}\) задано скалярное произведение, и векторное пространство \( \mathit{L}\) называют евклидовым.
Первое свойство означает симметричность скалярного произведения по сомножителям, из него следует, что оба сомножителя равноправны и скалярное произведение обладает одинаковыми свойствами относительно обоих сомножителей.
Наличие в векторном пространстве скалярного произведения позволяет ввести в векторном пространстве ряд геометрических понятий и объектов, знакомых в "стандартной" трехмерной геометрии. К ним относится длина вектора, угол между векторами, проекция вектора на направление (ось) и т.д.
Стандартное скалярное произведение. Рассмотрим векторное пространство \( \mathit{L}\) - пространство \(n\)-столбцов \(u=(u_1,u_2,...,u_n)^T\). Тогда скалярное произведение для двух таких столбцов можно определить следующим образом: \[ (u,v)=u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n. \] Такое скалярное произведение довольно часто употребляется по умолчанию (т.е. если явным образом не введено другое скалярное произведение).
Покажите, что стандартное скалярное произведение обладает всеми перечисленными выше свойствами.
Пусть в векторном пространстве \( \mathit{L}\) определено скалярное произведение. Тогда из свойств скалярного произведения вытекает следующее неравенство, справедливое для произвольных векторов \(u,v \in \mathit{L}\): \[ |(u,v)|^2 \leq (u,u)\cdot(v,v), \quad \quad(64) \] которое называется неравенством Коши-Буняковского .
Возьмем произвольное число \(\lambda \) и запишем для линейной комбинации \(w=u+\lambda v\) соотношение \((w,w) \geq 0\): \[ (w,w)=(u+\lambda v,u+\lambda v)=(u,u)+\lambda \cdot \left ((u,v)+(v,u)\right )+\lambda ^2\cdot (v,v) \] \[ =(u,u)+2\lambda \cdot (u,v)+\lambda ^2\cdot (v,v)\geq 0. \]
Здесь при раскрытии скобок мы использовали свойства скалярного произведения. Таким образом, наше выражение можно рассматривать как квадратный трехчлен, причем не принимающий отрицательное значепние ни при каких \(\lambda \). Это означает, что дискриминант этого трехчлена неположителен: \[ D=4(v,u)^2-4(v,v)(u,u) \leq 0. \]
Это неравенство эквивалентно неравенству (64).
Наличие скалярного произведения позволяет ввести длину вектора \(u\) согласно соотношению: \[ |u|=\sqrt{(u,u)}. \] При этом неравенство Коши-Буняковского можно переписать в виде \[ |(u,v)| \leq |u|\cdot |v|. \]
Последнее неравенство позволяет определить угол между векторами . Мы полагаем угол \(\alpha\) между векторами \(u,v \in \mathit{L}\) определенным согласно соотношению \[ \cos \alpha =\frac{(u,v)}{|u|\cdot |v|}. \] Правая часть этого соотношения не превосходит по модулю 1, так что для любой пары векторов угол между ними определен.
Далее, из неравенства Коши-Буняковского следует так называемое неравенство треугольника: для любых двух векторов \(u,v \in \mathit{L}\) выполняется: \[ |u+v|\leq |u|+|v|. \]
Выпишем \[ |u+v|^2=(u+v,u+v)=(u,u)+2(u,v)+(v,v)\leq |u|^2+2|u||v|+|v|^2. \]
Извлекая корень, получаем неравенство треугольника.
Скалярное произведение позволяет ввести еще один объект, имеющий приложения в геометрии. Пусть \(e \in \mathit{L}\) - вектор единичной длины, \(|e|=1\).
Из этого определения следует, что вектор \(v=u- (u,e)e\) ортогонален вектору \(e\): \((v,e)=(v,u-(u,e)e)=(v,u)-(v,u)(e,e)=0\).
1. Найти скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.
а) \(u(4, -1)\), \(v(-1, 7)\).
б) \(u(2, 1)\), \(v(1, -37)\).
в) \(u(1,0, 3)\), \(v(-4, 15,1)\).
г) \(u(2,1,1)\), \(v(-1, 7,9)\).
2. Найти угол между векторами, заданными своими координатами.
а) \(u(1, -1,1)\), \(v(5,1, 1)\).
б) \(u(1,-1, 1)\), \(v(2, -2,2)\).
3. Даны вектора \(a=(3;1;2), \,b=(2;7;4),\, c=(5;-8;10)\). Вычислить вектор \((a,b)c\).
4. Вершины четырехугольника \(A(2; -3; 1), \,B(-1; 1; 1),\, C(-4; 5; 6),\, D(2; -3; 6)\). Вычислить косинусы его углов.
5. Вычислить внутренний угол при вершине \(B\) у треугольника \(A(-1;-2;4), \,B(-4;-2;0),\, C(3;-2;1)\).
6. Вычислить угол между диагоналями четырехугольника
a) \(A(1;-2;2),\, B(1;4;0),\,C(-4;1;1),\,D(-5;-5;3)\).
б) \(A(-4; -4; 4), \,B(-3; 2; 3), \,C(2; 5; 1),\, D(3; -2; 2)\).
7. Даны вектора \(a(2; -1; 3),\, b(1; -3; 2),\, c(3; 2; -4)\). Вычислить вектор \(x\) из условий \((x,a)=10, \,(x,b)=22, \, (x,c)=-40\).
8. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам \(a=3i-j+2k,\, b=-i+3j-k\).
9. Найти вектор \(x\), перпендикулярный векторам \(a=(2;3;-1), \,b=(1;-2;3)\) при условии, что \((x,c)=-6\), где \(c=(2;-1;1)\).
10. Даны два вектора \(a(3; -1; 5),\, b(1; 2; -3)\). Найти вектор \(x\), перпендикулярный оси \(OZ\) и удовлетворяющий условиям \((x,a)=9, \,(x,b)=-4\).
|
Предыдущий раздел |
|
Назад | Далее |
|
Следующий раздел |
|