Скалярное произведение и евклидовы пространства
Евклидовы векторные пространства
Определение.
Векторное пространство \(\mathfrak{L}\) называется евклидовым , если в этом векторном пространстве задано скалярное произведение.
Как было показано в предыдущем разделе, наличие скалярного произведения позволяет ввести длину вектора, угол между векторами, понятие проекции вектора на ось, понятие ортогональности векторов. Приведем несколько свойств ортогональных векторов.
Лемма.
Если в наборе векторов \(\{ u_1, \, u_2, \, ..., u_k\}\) все вектора ненулевые и ортогональны друг другу, то они линейно независимы.
Предположим, что они линейно зависимы, так что существуют константы \(\lambda _1, \, \lambda _2, ..., \lambda _k\), не все равные нулю, такие, что
\[
\lambda _1u_1+\lambda _2u_2+...+\lambda _ku_k=0.
\]
Пусть \(\lambda _1 \neq 0\). Рассмотрим скалярное произведение этой суммы с вектором \(u_1\), получим, в силу наших условий и линейности скалярного произведения по сомножителям, равенство \(\lambda _1(u_1,u_1)=0\). Отсюда заключаем, используя свойства скалярного произведения, что \(u_1=0\). Пришли к противоречию. ч.т.д.
Лемма (теорема Пифагора).
Если \(u=u_1+u_2+...+u_k\), причем все вектора \(u_1, \, u_2, ..., u_k\) попарно ортогональны, то
\[
|u|^2=|u_1|^2+|u_2|^2+...+|u_k|^2.
\]
Умножим скалярно вектор \(u\) сам на себя, получим:
\[
|u|^2=(u,u)=(u_1+u_2+...+u_k,u_1+u_2+...+u_k).
\]
Раскрываем скобки, используя линейность скалярного произведения по сомножителям,
\[
|u|^2=(u_1,u_1)+(u_1,u_2)+....(u_1,u_k)+(u_2,u_1)+(u_2,u_2)+(u_2,u_3)+......+(u_k,u_k).
\]
Все произведения с неравными сомножителями пропадут (в силу попарной ортогональности векторов), так что в итоге:
\[
|u|^2=(u_1,u_1)+(u_2,u_2)+...+(u_k,u_k)=|u_1|^2+|u_2|^2+...+|u_k|^2.
\]
ч.т.д.
Предложение. В конечномерном векторном пространстве можно задать скалярное произведение.
Из этого предложения следует, что любое конечномерное векторное пространство можно, после введения скалярного произведения, рассматривать как евклидово пространство.
Теорема.
В конечно-мерном евклидовом пространстве существует базис из взаимно-ортогональных векторов единичной длины (ортонормированный базис).
Пусть \(\{e_1, \, e_2, ...., e_k\}\) - ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства \(\mathfrak{L}\), так что вектора этого базиса попарно ортогональны и имеют единичную длину. Возьмем произвольный вектор \(u \in \mathfrak{L}\), и напишем его разложение по базису \(\{e_1, \, e_2, ...., e_k\}\),
\[
u=\sum _{m=1}^k\lambda _me_m.
\]
Умножим скалярно этот вектор на базисный вектор \(e_p\), получим
\[
(u,e_p)=(\sum _{m=1}^k\lambda _me_m,e_p)=\sum _{m=1}^k\lambda _m(e_m,e_p)=\lambda _p(e_p,e_p)=\lambda _p.
\]
Таким образом, для коэффициентов разложения \( \lambda _p, \, p=1,2,...,k\), координат вектора \(u\) в базисе \(\{e\}\), находим простую формулу:
\[
\lambda _p=(u,e_p). \quad \quad(65)
\]
Далее, вычислим длину вектора \(u\):
\[
|u|^2=(\sum _{m=1}^k\lambda _me_m,\sum _{s=1}^k\lambda _se_s)=\sum _{m=1}^k\sum _{s=1}^k\lambda _m\lambda _s(e_m,e_s)
\]
(здесь мы использовали линейность скалярного произведения по обоим сомножителям). Произведения \((e_m,e_s)\) отличны от нуля лишь тогда, когда \(m=s\), причем в этом случае они равны 1. Таким образом,
\[
|u|^2=\sum _{m=1}^k\lambda^2 _m. \quad \quad(66)
\]
Соотношения (65) и (66) следуют из ортонормированности базиса \(\{e_1, \, e_2, ...., e_k\}\), они существенно упрощают работу с векторами по сравнению с разложениями векторов по базисам, которые не обладают ортонормированностью.
1. Доказать, что скалярное произведение двух любых векторов \(x=(x_1,x_2,...,x_n)\), \(y=(y_1,y_2,...,y_n)\) евклидова пространства тогда и только тогда можно записать в виде
\[
(x,y)=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n,
\]
когда базис, в котором вычислены координаты векторов, является ортонормированным.
2. Проверить, что вектора ортогональны и дополнить этот набор до ортогонального базиса пространства.
\(X_1=(1,-2,2,-3)\), \(X_2=(2,-3,2,4)\).
3. Найти вектора, дополняющие следующую систему векторов до ортонормированного базиса:
\(X_1=(2/3, 1/3, 2/3)\), \(X_2=(1/3, 2/3, -2/3)\).
