Линейные операторы

Определение. \[ \!i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi \] Пусть \( \mathit{L}\) - векторное пространство. Функция \(A: \mathit{L} \rightarrow \mathit{L}\) называется оператором, действующим в векторном пространстве \(\mathit{L}\).

Определение. Оператор \(A\) называется линейным, если для любых \(u_1,u_2 \in \mathit{L}\) и любых чисел \(c_1,c_2\) выполняется: \(A(c_1u_1+c_2u_2)=c_1A(u_1)+c_2A(u_2)\).

Обозначение. Результат действия линейного оператора \(A\) на вектор \(u\) обозначают \(Au\), опуская скобки.

Примеры.

1. \(Au=0\) - оператор, который любому вектору ставит в соответствие нулевой вектор.

2. \(Au=u\) - тождественный оператор.

3. \(Au=\lambda \cdot u\) - оператор, который каждый вектор растягивает в \(\lambda\) раз.

4. Пусть в векторном пространстве фиксирован базис \(e_1,e_2,...,e_n\), так что любой вектор \(u\) представим в виде линейной комбинации \[ u=\sum _{k=1}^n\zeta _ke_k. \]

Возьмем \(B\), произвольную квадратную матрицу порядка \(n\). С ее помощью можно построить линейный оператор следующим образом. Положим \[ \xi _m=\sum _{k=1}^nB_{mk}\zeta _k, \] и положим \(v=\sum _{m=1}^n\xi _me_m\). Таким образом, мы вектору \(u\) поставили в соответствие вектор \(v\), т.е. задали оператор, действующий на векторном пространстве. Можно проверить, что этот оператор является линейным. Отметим при этом, что если выбирать разные базисы, то при заданной матрице \(B\) мы получим разные линейные операторы.

Для линейных операторов можно ввести естественные операции.

1. Пусть даны два линейных оператора \(A\) и \(B\). Построим новый линейный оператор согласно соотношению: \(u \rightarrow Au+Bu\). Нетрудно проверить, что это новое отображение само является линейным оператором. Его обозначают \(A+B\).

2. Пусть \(A\) - линейный оператор, \(\lambda\) - некоторое число. Построим новый линейный оператор согласно соотношению: \(u \rightarrow \lambda \cdot Au\). Нетрудно проверить, что это новое отображение само является линейным оператором. Его обозначают \(\lambda A\).

Итак, на множестве всех линейных операторов, действующих в векторном пространстве \( \mathit{L}\), мы ввели две операции - сложение линейных операторов и умножение линейного оператора на число. Нулевой линейный оператор - оператор, ставящий в соответствие любому вектору нулевой вектор. Можно проверить, что при этом множество всех линейных операторов само становится векторным пространством.

Предыдущий раздел

Назад

Далее

Следующий раздел