Симметричные операторы
Определение.
Линейный оператор \(A\), действующий в евклидовом векторном пространстве \(\mathfrak{L}\), называется симметричным , если для любых векторов \(x,y \in \mathfrak{L}\) выполняется соотношение \((Ax,y)=(x,Ay)\).
Как упоминалось выше, при обсуждении матричной формы линейного оператора, если фиксирован базис в векторном пространстве рассмотрение линейного оператора можно заменить рассмотрением матрицы - его матричной формы. Пусть этот базис \(\{e_1, \, e_2, ...., e_k\}\) будет ортонормированным, \(\alpha _{rt}\) - матричная форма оператора \(A\). Тогда
\[
(Ae_s,e_p)=(\sum _{r=1}^k\alpha _{rs}e_r, e_p)=\sum _{r=1}^k\alpha _{rs}(e_r,e_p)=\alpha _{ps},
\]
\[
(e_s,Ae_p)=(e_s,\sum _{r=1}^k\alpha _{rp}e_r)=\sum _{r=1}^k\alpha _{rp}(e_s,e_r)=\alpha _{sp}.
\]
Таким образом, матричная форма симметричного оператора представляется симметричной матрицей - матрицей \(\alpha\), удовлетворяющей условию \(\alpha = \alpha ^T\). Можно проверить и обратное - если матричная форма является симметричной матрицей, то соответствующий линейный оператор является симметричным. Симметричные операторы играют важную роль в естествознании (особенно в физике), так что этот класс операторов заслуживает отдельного обсуждения.
Теорема. Пусть \(\alpha \) - вещественная симметричная матрица. Тогда ее собственные значения вещественны.
Пусть \(\lambda \) - собственное число матрицы \(\alpha\), причем \(\lambda \neq \overline{\lambda}\) (т.е. \(\lambda\) - не вещественна). Тогда для соответствующего собственного вектора \(u\) имеем:
\[
\alpha u = \lambda \cdot u, \quad \overline{\alpha u}=\overline{\lambda u}=\overline{\lambda}\cdot \overline{u}, \quad \overline{\alpha u}=\alpha \cdot \overline{u}.
\]
Сравнивая эти соотношения, получаем: число \(\overline{\lambda}\) является собственным числом матрицы \( \alpha\), \( \overline{u}\) - соответствующий собственный вектор. Вычислим \((\alpha u, \overline{u})\) двумя способами. Во-первых, \((\alpha u, \overline{u})=(\lambda u,\overline{u})=\lambda (u,\overline{u})\). Перебрасывая матрицу на второй сомножитель, получаем: \((\alpha u, \overline{u})=( u, \alpha \overline{u}) =(u,\overline{\lambda} \overline{u})=\overline{\lambda}(u, \overline{u})\). При этом \((u, \overline{u})=\overline{(u, \overline{u})}\) - вещественная величина, отличная от 0. Отсюда следует, что \(\lambda = \overline{\lambda}\).
Теорема.
Собственные вектора, соответствующие различным собственным числам симметричной матрицы, ортогональны друг другу.
Пусть \(\alpha u_1=\lambda _1u_1\), \(\alpha u_2=\lambda _2u_2\), \(\lambda _1 \neq \lambda _2\), \(\alpha \) - симметричный оператор. Вычислим \((\alpha u_1, u_2)\) двумя способами. Во-первых, \((\alpha u_1, u_2)=\lambda _1(u_1,u_2)\). Во-вторых, \((\alpha u_1, u_2)=( u_1, \alpha u_2)=\lambda _2(u_1,u_2)\). Сравнивая, получаем: \((\lambda _1-\lambda _2)(u_1,u_2)=0\), откуда \((u_1,u_2)=0\).
Более продвинутое рассмотрение приводит к следующему результату.
Теорема. Собственные вектора симметричной матрицы попарно ортогональны друг другу.
Таким образом, набор собственных векторов симметричной матрицы образуют ортогональный базис, а если ветора базиса привести к единичной длине - ортонормированный базис.
