Квадратичные формы

Основные определения

Определение. Пусть $\mathfrak{L}$ - конечномерное векторное пространство. Числовая вещественно-значная функция $A(x,y)$ , аргументами которой являются вектора $x,y \in \mathfrak{L}$ , называется билинейной функцией (билинейной формой), если она линейна по $x$ при каждом фиксированном $y$ и линейна по $y$ при каждом фиксированном $x$ . Линейность по $x$ означает, что для любых чисел $\lambda _1, \, \lambda _2$ выполняется

$A(\lambda _1x_1+\lambda _2x_2,y)=\lambda _1A(x_1,y)+\lambda _2A(x_2,y).$

Выберем базис в пространстве $\mathfrak{L}$ , вектора $\{e_1,\,e_2,\,...,e_n\}$ и разложим вектора $x,y$ по этому базису,

$x=\sum_{k=1}^nx_ke_k, \quad y=\sum_{k=1}^ny_ke_k.$ Тогда, используя билинейность формы, получаем:

$A(x,y)=A(\sum_{k=1}^nx_ke_k,\sum_{m=1}^ny_me_m)=\sum _{k,m=1}^nx_ky_mA(e_k,e_m)=\sum _{k,m=1}^n\alpha_{km}x_ky_m,$ где матрица

$\alpha_{km}$ определяется соотношением

$\alpha_{km}=A(e_k,e_m)$ . Разумеется, она зависит от выбора базиса.

Определение. Квадратичной формой в векторном пространстве $\mathfrak{L}$ называется функция $A(x,x)$ , которая получается из билинейной формы $A(x,y)$ при равенстве векторных аргументов $y=x$ .

Подставляя $y=x$ , получим:

$A(x,x)=\sum _{k,m=1}^n\alpha_{km}x_kx_m. \quad \quad(67)$ Это соотношение приводит к эквивалентному определению квадратичной формы.

Определение. Однородный многочлен второй степени от переменных $x_1,x_2,...,x_n$ называется квадратичной формой. В явном виде

$f(x_1,x_2,...,x_n)=\alpha_{11}x_1^2+\alpha_{12}x_1x_2+....+\alpha_{nn}x_n^2=\sum _{k,m=1}^n\alpha_{km}x_kx_m.$ При этом, не уменьшая общности, можно считать, что матрица

$\alpha$ с элементами

$\alpha_{km}$ - симметричная.

Контрольный вопрос:

Почему предположение о симметричности матрицы $\alpha_{km}$ не уменьшает общности рассмотрений?

Потому что в сумме есть 2 слагаемых $a_{km} x_k x_m + a_{mk} x_m x_k = x_m x_k (a_{km} + a_{mk})$ , сумма которых симметрична по k; m. Таким образом, квадратичная форма зависит только от "симметричной" части порождающей ее билинейной формы.

Введем вектор-столбец $X=(x_1,x_2,...,x_n)^T$ . Тогда можно записать $f(x_1,x_2,...,x_n)$ в более сжатом виде $f(x_1,x_2,...,x_n)=X^T\alpha X$ , имея в виду обычные обозначения для матричного умножения.

Итак, по билинейной форме можно построить квадратичную форму. В обратную сторону это соответствие обращается не совсем точно - по квадратичной форме можно восстановить "симметричную" часть билинейной формы ( или саму билинейную форму, если она была симметричной, т.е. выполнялось равенство $A(x,y)=A(y,x)$ для всех $x,y \in \mathfrak{L}$ ). Это обращение реализуется с помощью формулы:

$B(x,y)=\left [ A(x+y,x+y)-A(x,x)-A(y,y)\right]/2=\left [ A(x,y)+A(y,x)\right]/2,$ так что если

$A(x,y)$ была симметричной, мы имеем:

$A(x,y)=B(x,y)$ .

Предыдущий раздел