Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/Fraktur/Regular/Main.js

Квадратичные формы

Основные определения

Определение. Пусть \mathfrak{L} - конечномерное векторное пространство. Числовая вещественно-значная функция A(x,y), аргументами которой являются вектора x,y \in \mathfrak{L}, называется билинейной функцией (билинейной формой), если она линейна по x при каждом фиксированном y и линейна по y при каждом фиксированном x. Линейность по x означает, что для любых чисел \lambda _1, \, \lambda _2 выполняется A(\lambda _1x_1+\lambda _2x_2,y)=\lambda _1A(x_1,y)+\lambda _2A(x_2,y).

Выберем базис в пространстве \mathfrak{L}, вектора \{e_1,\,e_2,\,...,e_n\} и разложим вектора x,y по этому базису, x=\sum_{k=1}^nx_ke_k, \quad y=\sum_{k=1}^ny_ke_k.

Тогда, используя билинейность формы, получаем: A(x,y)=A(\sum_{k=1}^nx_ke_k,\sum_{m=1}^ny_me_m)=\sum _{k,m=1}^nx_ky_mA(e_k,e_m)=\sum _{k,m=1}^n\alpha_{km}x_ky_m,
где матрица \alpha_{km} определяется соотношением \alpha_{km}=A(e_k,e_m). Разумеется, она зависит от выбора базиса.

Определение. Квадратичной формой в векторном пространстве \mathfrak{L} называется функция A(x,x), которая получается из билинейной формы A(x,y) при равенстве векторных аргументов y=x.

Подставляя y=x, получим: A(x,x)=\sum _{k,m=1}^n\alpha_{km}x_kx_m. \quad \quad(67)

Это соотношение приводит к эквивалентному определению квадратичной формы.

Определение. Однородный многочлен второй степени от переменных x_1,x_2,...,x_n называется квадратичной формой. В явном виде f(x_1,x_2,...,x_n)=\alpha_{11}x_1^2+\alpha_{12}x_1x_2+....+\alpha_{nn}x_n^2=\sum _{k,m=1}^n\alpha_{km}x_kx_m.

При этом, не уменьшая общности, можно считать, что матрица \alpha с элементами \alpha_{km} - симметричная.

Контрольный вопрос:

Почему предположение о симметричности матрицы \alpha_{km} не уменьшает общности рассмотрений?

Потому что в сумме есть 2 слагаемых a_{km} x_k x_m + a_{mk} x_m x_k = x_m x_k (a_{km} + a_{mk}) , сумма которых симметрична по k; m. Таким образом, квадратичная форма зависит только от "симметричной" части порождающей ее билинейной формы.

Введем вектор-столбец X=(x_1,x_2,...,x_n)^T. Тогда можно записать f(x_1,x_2,...,x_n) в более сжатом виде f(x_1,x_2,...,x_n)=X^T\alpha X, имея в виду обычные обозначения для матричного умножения.

Итак, по билинейной форме можно построить квадратичную форму. В обратную сторону это соответствие обращается не совсем точно - по квадратичной форме можно восстановить "симметричную" часть билинейной формы ( или саму билинейную форму, если она была симметричной, т.е. выполнялось равенство A(x,y)=A(y,x) для всех x,y \in \mathfrak{L}). Это обращение реализуется с помощью формулы: B(x,y)=\left [ A(x+y,x+y)-A(x,x)-A(y,y)\right]/2=\left [ A(x,y)+A(y,x)\right]/2,

так что если A(x,y) была симметричной, мы имеем: A(x,y)=B(x,y).

Предыдущий раздел Далее