Квадратичные формы
Закон инерции квадратичных форм
Итак, согласно теореме о приведении квадратичной формы, для любой квдратичной формы \(A(x,x)\) существует канонический базис \(\{f_1, \, f_2, ..., f_n\}\), так что для любого вектора \(x\),
\[
x=\sum _{k=1}^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _{k=1}^n \lambda _k\eta _k^2.
\]
Так как \(A(x,x)\) вещественно-значна, и наши замены базиса также включают только вещественные числа, приходим к выводу, что числа \( \lambda _k\) вещественны. Среди этих чисел есть положительные, отрицательные и равные нулю.
Определение. Число \(n_+\) положительных чисел \( \lambda _k\) называется положительным индексом квадратичной формы \(A(x,x)\) , число \(n_-\) отрицательных чисел \(\lambda _k\) называется отрицательным индексом квадратичной формы , число \((n_++n_-)\) называется рангом квадратичной формы . Если \(n_+=n\), квадратичная форма называется положительной.
Вообще говоря, приведение квадратичной формы к диагональному виду реализуется не единственным образом. Возникает вопрос: зависят ли числа \(n_+\), \(n_-\) от выбора базиса, в котором квдратичная форма диагональна?
Теорема (Закон инерции квадратичных форм).
Положительный и отрицательный индексы квадратичной формы не зависят от способа приведения ее к каноническому виду.
Пусть имеется два канонических базиса, \(\{f\}\), \(\{g\}\), так что любой вектор \(x\) представляется в виде:
\[
x=\sum_{k=1}^n\eta _kf_k=\sum _{m=1}^n\zeta _mg_m,
\]
причем
\[
A(x,x)=\sum_{k=1}^n\lambda _k\eta _k^2=\sum _{m=1}^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71)
\]
Пусть среди \(\lambda _k\) первые \(p\) положительны, остальные либо отрицательны, либо нули, среди \(\mu_m\) первые \(s\) положительны, остальные либо отрицательны, либо нулевые. Нам необходимо доказать, что \(p=s\). Перепишем (71):
\[
\sum_{k=1}^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _{m=s+1}^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_{k=p+1}^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _{m=1}^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72)
\]
так что все слагаемые в обеих частях равенства неотрицательны. Предположим, что \(p\) и \(s\) не равны, например, \(p < s\). Поставим такую задачу: найти такой \(x\), что \(\eta _k=0, \, k=1,2,..,p\), \( \zeta _m=0, m=s+1,\, s+2, ..., n\). При этом левая часть последнего равенства обращается в 0. Наши условия означают \(p+n-s\) условий на вектор \(x\), причем каждое условие выражается в линейном уравнении на координаты вектора \(x\), в правой части которого 0. Итого имеем \(p+n-s < n\) уравнений на вектор в \(n\)- мерном пространстве. Однородная система уравнений, которую мы получили, имеет \(n\) неизвестных (координат вектора \(x\)) и \(p+n-s\) уравнений, так что согласно общим теоремам о системах уравнений имеется ненулевое решение, которому соответствует ненулевой вектор \(x\). В левой части (72) имеем 0, в правой части присутствуют \(\zeta _m, m=1,\,2,...,s\) с ненулевыми положительными коэффицентами, остальные слагаемые в правой части тоже неотрицательны. Таким образом, получаем: \(\zeta _m=0, m=1,\,2,...,s\). В итоге все \(\zeta _m=0, m=1,\,2,...,n\), координаты вектора \(x\) в базисе \(\{g\}\),
равны нулю, так что \(x\) - нулевой вектор. Пришли к противоречию.
Мы доказали, что совпадают положительные индексы. Аналогично можно доказать, что совпадают и отрицательные индексы.
ч.т.д.
1. Преобразовать к сумме квадратов квадратичные формы:
а) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);
б) \(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\);
в) \(2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3\);
г) \(8x^2+5y^2+2z^2-6yz+4xz-2xy\).
2. Найти те значения параметра \(\lambda\), при котором следующие квадратичные формы являются положительными:
а) \(5x_1^2+x_2^2+\lambda x_3^2+4x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3\);
б) \( 2x_1^2+x_2^2+3x_3^2+2\lambda x_1x_2+2x_1x_3\).
