Квадратичные формы

Теорема о приведении квадратичной формы

Если матрица \(\alpha\) диагональна, квадратичная форма (67) приобретает простой вид, \[ A(x,x)=\sum _{k,m=1}^n \beta_{k}x_k^2, \quad \beta _k=\alpha _{kk}. \quad \quad(68) \] Однако для недиагональной матрицы \(\alpha \) в правой части (67) содержатся и перекрестные слагаемые. В то же время, как упоминалось выше, вид матрицы \(\alpha\) зависит от выбора базиса. Возникает следующий вопрос. Пусть задана произвольная квадратичная форма. Можно ли заменой базиса привести ее к диагональному виду (68)?

Определение. Пусть для данной квадратичной формы \(A(x,x)\) существует такой базис \(\{f_1, \, f_2, ..., f_n\}\) со следующими свойствами: если представить вектор \(x \in \mathfrak{L}\) в этом базисе, \[ x=\sum _{k=1}^n\eta _kf_k, \] то для некоторого фиксированного (не зависящего от \(x\)) набора чисел \(\lambda _1, \, \lambda _2, ..., \lambda _n\) \[ A(x,x)=\sum _{k=1}^n \lambda _k\eta _k^2. \quad \quad(69) \] Тогда базис \(\{f_1, \, f_2, ..., f_n\}\) называется каноническим базисом формы \(A(x,x)\), а представление (69) - каноническим видом квадратичной формы \(A(x,x)\).

Теорема. Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду после перехода к соответствующему базису.

Доказательство:

Заметим, что переход к новому базису эквивалентен линейной замене координат вида \[ x_k=\sum _{p=1}^nc_{kp}y_p \] для подходящих чисел \(c_{kp}\) (это следует из формул замены координат вектора при замене базиса). Таким образом, мы будем использовать линейные замены координат вместо замен базиса.

Доказательство проведем по индукции, по размерности пространства \(n\). Очевидно, при \(n=1\) теорема верна - квадратичная форма совпадает с функцией \(A(x,x)=\mu x^2\). Предоположим, что теорема верна для \(n=N\) и докажем ее для \(n=N+1\). Выпишем нашу квадратичную форму, выделив слагаемые, содержащие \(x_1\): \[ A(x,x)=\alpha _{11}x_1^2+2\alpha _{12}x_1x_2+....2\alpha _{1n}x_1x_n+g(x_2,x_3,...,x_n), \quad \quad(70) \]

где \(g(x_2,x_3,...,x_n)\) состоит из слагаемых, содержащих переменные \(x_2,\,x_3, ,x_n\). Если все коэффициенты \(\alpha _{11},\,\alpha _{12},...,\alpha _{1n}\) равны 0, наша квадратичная форма зависит только от \(n-1=N\) переменных \(x_2,\,x_3,...,x_n\), так что для нее теорема верна по предположению индукции. Рассмотрим теперь вариант, когда не все эти коэффициенты равны 0.

1. \(\alpha _{11}\neq 0 \), \[ A(x,x)=\alpha _{11}\left(x_1^2+\frac{2\alpha _{12}}{\alpha _{11}}x_1x_2+....\frac{2\alpha _{1n}}{\alpha _{11}}x_1x_n\right)+g(x_2,x_3,...,x_n). \]

Выделим полный квадрат такой заменой переменных: \[ y_1=x_1+\frac{\alpha _{12}}{\alpha _{11}}x_2+....\frac{\alpha _{1n}}{\alpha _{11}}x_n, \quad y_2=x_2, \, ..., y_n=x_n. \]

Тогда в новых переменных \[ A(x,x)=\alpha _{11}y_1^2+h(y_2,\, y_3,...., y_n), \]

где \(h(y_2,\, y_3,...., y_n)\) - квадратичная форма от \(N\) переменных. Эту квадратичную форму можно привести линейной заменой переменных \(y_2,\, y_3,...., y_n\) (не трогая \(y_1\)) к диагональному виду по предположению индукции. Таким образом, и в этом случае доказательство заканчивается.

2. Пусть теперь \(\alpha _{11}= 0 \), но какой-то из коэффициентов \(\alpha _{12},\,\alpha _{13},...,\alpha _{1n}\) не равен 0, пусть, для определенности, \(\alpha _{12}\neq 0 \). Положим \[ x_1=y_1+y_2, \,x_2=y_1-y_2,\, x_3=y_3, \,..., x_n=y_n. \]

Тогда соотношение (70) приобретает вид: \[ A(x,x)=2\alpha _{12}(y_1^2-y_2^2)+... \]

Ненулевое слагаемое, содержащее \(y_1^2\), только одно, выписанное явно. Таким образом, мы приходим к ситуации п.1 и заканчиваем доказательство. ч.т.д.

Предыдущий раздел