Квадратичные формы

Определение. Пусть \(\mathfrak{L}\) - конечномерное векторное пространство. Числовая вещественно-значная функция \(A(x,y)\), аргументами которой являются вектора \(x,y \in \mathfrak{L}\), называется билинейной функцией (билинейной формой), если она линейна по \(x\) при каждом фиксированном \(y\) и линейна по \(y\) при каждом фиксированном \(x\). Линейность по \(x\) означает, что для любых чисел \(\lambda _1, \, \lambda _2\) выполняется \[ A(\lambda _1x_1+\lambda _2x_2,y)=\lambda _1A(x_1,y)+\lambda _2A(x_2,y). \]

Выберем базис в пространстве \(\mathfrak{L}\), вектора \(\{e_1,\,e_2,\,...,e_n\}\) и разложим вектора \(x,y\) по этому базису, \[ x=\sum_{k=1}^nx_ke_k, \quad y=\sum_{k=1}^ny_ke_k. \] Тогда, используя билинейность формы, получаем: \[ A(x,y)=A(\sum_{k=1}^nx_ke_k,\sum_{m=1}^ny_me_m)=\sum _{k,m=1}^nx_ky_mA(e_k,e_m)=\sum _{k,m=1}^n\alpha_{km}x_ky_m, \] где матрица \(\alpha_{km}\) определяется соотношением \(\alpha_{km}=A(e_k,e_m)\). Разумеется, она зависит от выбора базиса.

Определение. Квадратичной формой в векторном пространстве \(\mathfrak{L}\) называется функция \(A(x,x)\), которая получается из билинейной формы \(A(x,y)\) при равенстве векторных аргументов \(y=x\).

Подставляя \(y=x\), получим: \[ A(x,x)=\sum _{k,m=1}^n\alpha_{km}x_kx_m. \quad \quad(67) \] Это соотношение приводит к эквивалентному определению квадратичной формы.

Определение. Однородный многочлен второй степени от переменных \(x_1,x_2,...,x_n\) называется квадратичной формой. В явном виде \[ f(x_1,x_2,...,x_n)=\alpha_{11}x_1^2+\alpha_{12}x_1x_2+....+\alpha_{nn}x_n^2=\sum _{k,m=1}^n\alpha_{km}x_kx_m. \] При этом, не уменьшая общности, можно считать, что матрица \(\alpha\) с элементами \(\alpha_{km}\) - симметричная.

Введем вектор-столбец \(X=(x_1,x_2,...,x_n)^T\). Тогда можно записать \( f(x_1,x_2,...,x_n)\) в более сжатом виде \(f(x_1,x_2,...,x_n)=X^T\alpha X\), имея в виду обычные обозначения для матричного умножения.

Итак, по билинейной форме можно построить квадратичную форму. В обратную сторону это соответствие обращается не совсем точно - по квадратичной форме можно восстановить "симметричную" часть билинейной формы ( или саму билинейную форму, если она была симметричной, т.е. выполнялось равенство \(A(x,y)=A(y,x)\) для всех \(x,y \in \mathfrak{L}\)). Это обращение реализуется с помощью формулы: \[ B(x,y)=\left [ A(x+y,x+y)-A(x,x)-A(y,y)\right]/2=\left [ A(x,y)+A(y,x)\right]/2, \] так что если \(A(x,y)\) была симметричной, мы имеем: \(A(x,y)=B(x,y)\).

Предыдущий раздел

Далее