Векторные / линейные пространства

Замена базиса

Как упоминалось выше, базис в данном векторном пространстве можно ввести разными способами. В связи с этим возникает естественная задача: описать связь между базисами.

Задача:

Докажите, что размерность векторного пространства не зависит от выбора базиса (т.е. что любой базис содержит одинаковое число векторов).

Пусть в векторном пространстве \(\mathit{L}\) заданы базисы \(e_1,e_2,...,e_n\) и \(f_1,f_2,...,f_n\). Любой вектор второго базиса можно выразить через вектора первого базиса, так что \[ f_1=c_{11}e_1+c_{21}e_2+...+c_{n1}e_n, \quad \quad(41) \] \[ f_2=c_{12}e_1+c_{22}e_2+...+c_{n2}e_n, \quad \quad(42) \] \[ .......................................................... \] \[ f_n=c_{1n}e_1+c_{2n}e_2+...+c_{nn}e_n,\quad \quad (43) \]

или \[ f_k=\sum_{m=1}^nc_{mk}e_m, k=1,2,...,n. \quad \quad(44) \]

Определение. Матрица \[ C=\left( \begin{array}{ccccc} c_{11} & c_{21} & c_{31} &\ldots & c_{n1} \\ c_{12} & c_{22} & c_{32} &\ldots & c_{n2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{1n} &c_{2n} & c_{3n} & \ldots & c_{nn} \end{array} \right) , \] элементы которой введены согласно соотношениям (41)-(43), называется матрицей замены базиса \(\{e_1,e_2,...,e_n\}\) на базис \(\{f_1,f_2,...,f_n\}\).

Аналогичным образом можно выразить вектора базиса \(e\) через вектора базиса \(f\): \[ e_1=b_{11}f_1+b_{21}f_2+...+b_{n1}f_n,\quad \quad (45) \] \[ e_2=b_{12}f_1+b_{22}f_2+...+b_{n2}f_n, \quad \quad(46) \] \[ .......................................................... \] \[ e_n=b_{1n}f_1+b_{2n}f_2+...+b_{nn}f_n, \quad \quad(47) \] или \[ e_s=\sum_{k=1}^nb_{ks}f_k,s=1,2,...,n. \] Соответственно, возникает матрица \(B\): \[ B=\left( \begin{array}{ccccc} b_{11} & b_{21} &b_{31} &\ldots & b_{n1} \\ b_{12} & b_{22} & b_{32} &\ldots & b_{n2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{1n} &b_{2n} & b_{3n} & \ldots & b_{nn} \end{array} \right) , \]

Теорема. Матрица перехода от базиса к базису невырождена.

Доказательство:

Подставляя (41)-(43) в (45)-(47), получаем: \[ e_s=\sum_{k=1}^nb_{ks}\left ( \sum _{m=1}^nc_{mk}e_m \right ). \]

В последнем выражении стоят 2 конечные суммы. Для конечных сумм, согласно правилам обычной арифметики, возможна перестановка порядка суммирования. Реализуя ее, получаем: \[ e_s=\sum_{k=1}^nb_{ks}\left ( \sum _{m=1}^nc_{mk}e_m \right )=\sum_{m=1}^ne_m\left ( \sum _{k=1}^nc_{mk} b_{ks} \right ). \]

Сравнивая выражения слева и справа, и используя единственность координат вектора (т.е.коэффициентов при \(e_m\) в левой и правой частях), получаем: \[ \sum _{k=1}^nc_{mk} b_{ks}=\delta _{ms},\quad \quad (48) \] где \(\delta \)-символ Кронекера определен согласно соотношению: \(\delta _{ms}=0\), если \(m \neq s\), \(\delta _{ms}=1\), если \(m =s\). В левой части соотношения (48) нетрудно опознать матричное умножение матриц \(C^T\) и \(B^T\). В правой части стоят элементы единичной матрицы \(E\), которая на диагонали имеет единицы, а остальные элементы ее равны нулю. Таким образом, мы получили равенство: \[ C^TB^T=E.\quad \quad (49) \] Транспонируя это равенство, находим: \(BC=E\). Согласно свойствам определителей, имеем: \[ det(B)det(C)=det(E)=1. \] таким образом, матрицы \(B\), \(C\) невырождены и обратны друг другу.

Задачи:

1. Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов является базисом. Найти матрицу перехода от одной системы к другой. \[ a_1=(1,2,1), \quad a_2=(2,3,3), \quad a_3=(3,8,2), \] \[ b_1=(3,5,8), \quad b_2=(5,14,13), \quad b_3=(1,9,2). \]

2. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если поменять местами два вектора второго базиса?

Предыдущий раздел Назад Далее Следующий раздел