Векторные / линейные пространства

В данном разделе обсуждается понятие векторного (иногда его называют линейным) пространства. Этот объект является ключевым для развития общих структур линейной алгебры.

Основные определения

Определение. Множество \( \mathit{L}\) называется векторным пространством , а его элементы \(u \in \mathit{L}\) - векторами , если для его элементов заданы 2 операции: сложение элементов (обозначается знаком \(+\)) и умножение элемента на вещественные числа \(c \in \mathbb{R}\), так что справедливы следующие соотношения, которые выполняются для всех элементов \(u,u_k \in \mathit{L}\) и любых чисел \(c,c_m\in \mathbb{R}\):

1. \(u_1+u_2=u_2+u_1,\)

2. \(u_1+(u_2+u_3)=(u_1+u_2)+u_3,\)

3. \(c(u_1+u_2)=cu_1+cu_2\),

4. \(c_1(c_2u)=(c_1c_2)u\),

5. \(1\cdot u=u\)

6. Существует нулевой элемент \(0 \in \mathit{L}\) такой, что \(0+u=u, 0\cdot u=0, c\cdot 0=0\).

Пример.

Рассмотрим множество \(n-\)столбцов. Это частный случай матриц, так что в качестве операций мы используем матричные операции сложения и умножения на число. Можно проверить, что выполняются все описанные выше свойства операций, если в качестве нулевого элемента взять нулевой столбец - столбец, все элементы которого равны 0.

Другие примеры:

Пример.

Рассмотрим множество матриц типа \((m,n)\). В качестве операций мы используем матричные операции сложения и умножения на число. Можно проверить, что выполняются все описанные выше свойства операций, если в качестве нулевого элемента взять нулевую матрицу - матрицу типа \((m,n)\), все элементы которой равны 0.

Пример.

Рассмотрим множество полиномов степени \(n\) переменной \(x\), т.е. множество функций вида \[ P(x)=a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+....+a_n\cdot x^n \] (числа \(a_k, k=1,2,...,n\) называются коэффициентами полинома \(P(x)\). На этом множестве можно ввести естественные операции сложения и умножения на число, так что это множество является векторным пространством. Нулевым элементом является полином с нулевыми коэффициентами.

Предыдущий раздел Назад Далее Следующий раздел