Задачи:

Вычислить определители

1. \[ A=\left| \begin{array}{cc} 1 &4 \\ 7 & 5 \end{array} \right| \]

2. \[ A=\left| \begin{array}{cc} a+b & a-b \\ a-b & a+b \end{array} \right| \]

3. \[ A=\left| \begin{array}{ccc} 1 &1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{array} \right| \]

4. \[ A=\left| \begin{array}{ccc} 246 &427 & 327 \\ 1014 & 543 & 443 \\ -342 & 721 & 621 \end{array} \right| \]

5. \[ A=\left| \begin{array}{ccc} x &y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{array} \right| \]

6. \[ A=\left| \begin{array}{cccc} 1 &2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 &1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 &1 &2 &3 \end{array} \right| \]

7. \[ A=\left| \begin{array}{cccc} 1 &2 & 3 & 4 \\ -2 & 1 & -4 & 3 \\ 3 & -4 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -2 & -1 \end{array} \right| \]

8. \[ A=\left| \begin{array}{cccc} 1 &1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 &4 \\ 1 & 3 & 6 &10 \\ 1 &4 &10 &20 \end{array} \right| \]

9. \[ A=\left| \begin{array}{ccccc} 4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 &0 \\ 0 &1 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 &1 & 4 \end{array} \right| \]

Задачи:

1. Умножить матрицы:

а) \[ \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right). \]

б) \[ \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ccc} 1 &1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right). \]

2. Вычислить \[ \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -4 & -2 \end{array} \right)^5. \]

3. Вычислить \(AB-BA\), если

а) \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right), B=\left( \begin{array}{ccc} 4 & 2 & 3 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right). \]

б) \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right), B=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \\3 & 5 & 1 \end{array} \right). \]

4. Вычислить

а) \(f(A)\), если \(f(x)=x^2-3x+3\), \[ A=\left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right). \]

б) \(f(A)\), если \(f(x)=x^2+4x-2\), \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{array} \right). \]

5. Показать, что каждая матрица второго порядка \[ A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \]

удовлетворяет уравнению \[ x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0. \]

Задачи:

Найти обратную матрицу для матрицы

1. \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right). \]

2. \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &-1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right). \]

3. \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} \right). \]

Задачи:

1. Найти решение матричного уравнения (12), если \[ A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ -9 & 3 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} -26 & -50 \\ 27 & -15 \end{array} \right) . \]

2. Найти решение матричного уравнения (12), если \[ A=\left( \begin{array}{cc} 8 & -7 \\ -5 & 4 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} 25 & -34 \\ -16 & 22 \end{array} \right) . \]

3. Найти решение матричного уравнения (13), если \[ B=\left( \begin{array}{cc} -8 & -5 \\ -9 & 5 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} -20 & 30 \\ -19 & 20 \end{array} \right) . \]

4. Найти решение матричного уравнения (13), если \[ B=\left( \begin{array}{cc} 9 & 8 \\ -3 & 7 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} -72 & 23 \\ 0 & 58 \end{array} \right) . \]

5. Найти решение матричного уравнения (14), если \[ A=\left( \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) , B=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -2 & -1 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} 20 & -50 \\ 26 & 23 \end{array} \right) . \]

6. Найти решение матричного уравнения (14), если \[ A=\left( \begin{array}{cc} -4 & -2 \\ -3 & 3 \end{array} \right) , B=\left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} 132 & 134 \\ 18 & 24 \end{array} \right) . \]

1. Вычислить ранг матрицы

а) \[ \left( \begin{array}{cccc} 1 &2 &1 & 1 \\ 2& 4 & 2 & 2\\ 3 & 6& 3& 5 \end{array} \right) . \]

б) \[ \left( \begin{array}{cccc} 1 &7 &7 & 9 \\ 7& 5 & 1 & -1\\ 4 & 2& -1& -3 \\ -1 & 1 & 3 &5 \end{array} \right) . \]

в) \[ \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 &11 & 2 \\ 1& 0 & 4 & -1\\ 11 & 4& 56& 5 \\ 2 & -1 & 5 &- 6 \end{array} \right) . \]

г) \[ \left( \begin{array}{cccc} 5 & 4 & 1 & 3 \\ 2& 1 & 1 & 4\\ 3 & 2& 1& 1 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \end{array} \right) . \]

2. Доказать равенство \(rang(A)=rang(A^T)\).

3. Пусть \(A\) и \(B\) - матрицы с одинаковым числом строк. Доказать, что \[ rang\left( \begin{array}{cc} A & B\\ 2A & 3B \end{array} \right)=rang(A)+rang(B). \]