Матрицы и действия с ними, определители

Сложение матриц

Сложение определено для матриц одного типа, т.е. для матриц, у которых число строк и столбцов совпадает. Сумма матриц \(A=\{A_{ik}\}\) и \(B=\{B_{ik}\}\), матрица \(A+B\), определяется следующим образом: \((A+B)_{ik}=A_{ik}+B_{ik}\), \(1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq n\). Иными словами: складываются элементы матриц \(A\) и \(B\), стоящие на одинаковом месте (т.е. на пересечении одинаковых строк и столбцов) и записываются в то же место.

Пример. Пусть \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end{array} \right) , \] \[ B=\left( \begin{array}{ccc} 2 &1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} \right) , \] тогда \[ A+B=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -1 \\ 4 & -3 & 11 \end{array} \right) . \]

Умножение матрицы на число

Пусть \(A=\{a_{ik}\}\) - матрица типа \((m,n)\), \(\lambda\) - произвольное число. Тогда матрица \(\{\lambda a_{ik}\}\) называется произведением числа \(\lambda \) на матрицу \(A\) и обозначается \(\lambda \cdot A\).

Пример. Пусть \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &4 & -1 \\ 7 & 5 & 2 \\ 3 & -6 & 7 \end{array} \right) , \] тогда \[ 5A=\left( \begin{array}{ccc} 5 &20 & -5 \\ 35 & 25 & 10 \\ 15 & -30 & 35 \end{array} \right) . \]

Замечание.

Как и в обычной, в матричной арифметике знак умножения иногда не указывают, так что выражения \(c\cdot A\) и \(cA\) равноправны.

Транспонирование матриц

Если для заданной матрицы \(A\) ее строки записать как столбцы, получим новую матрицу, которая называется транспонированной исходной, и обозначается \(A^T\).

Пример. Пусть \[ A=\left( \begin{array}{cccc} 1 &4 & -1 & 4 \\ 7 & 5 & 2 & 2\\ 3 & -6 & 7 & 8 \end{array} \right), \] тогда \[ A^T=\left( \begin{array}{ccc} 1 &7 & 3 \\ 4 & 5 & -6 \\ -1 & 2 & 7 \\ 4 &2 &8 \end{array} \right) . \]

Подчеркнем, если матрица \(A\) имеет тип (\(m,n)\), то \(A^T\) имеет тип \((n,m)\), так что эта операция, вообще говоря, меняет тип матрицы. В частности, если \(A\) была матрицей-столбцом, \(A^T\) будет матрицей-строкой той же длины. Поэтому из типографских соображений матрицу-столбец часто представляют в виде \((a_1,a_2,a_3,....,a_n)^T\) (это выражение занимает меньше места).

Элементарные свойства операций с матрицами

Введенные операции обладают многими естественными арифметическими свойствами. Перечислим ряд из них.

1. Для любых матриц \(A,B,C\) одного типа \((A+B)+C=A+(B+C)\)(ассоциативность сложения).

2. Для любых матриц \(A,B\) одного типа \(A+B=B+A\) (коммутативность сложения).

3. Пусть \((m,n)\)-матрица \(O\) состоит из нулей. Такая матрица играет роль нуля при сложении матриц типа \((m,n)\), \(A+O=A\), \(0\cdot A=O\) для любой матрицы \(A\) того же типа.

4. Для любых чисел \(c_1,c_2\) и любой матрицы \(A\) верно \((c_1+c_2)A=c_1A+c_2A\).

5. Для любых матриц \(A,B\) одного типа и любого числа \(c\) верно \(c(A+B)=cA+cB\).

6. Для любых чисел \(c_1,c_2\) и любой матрицы \(A\) верно \((c_1c_2)A=c_1(c_2A)\).

7. Для любой матрицы \(A\) верно \(1\cdot A=A\).

8. Для любых матриц \(A,B\) одного типа \((A+B)^T=A^T+B^T\).

9. Для любого числа \(c\) и любой матрицы \(A\) верно: \((cA)^T=cA^T\).

10. Для любой квадратной матрицы \(detA=detA^T\).

11. Для любой матрицы \((A^T)^T=A\).

Умножение матриц

Рассмотрим сначала умножение матрицы-строки на матрицу столбец. Пусть \(A=(a_1,a_2,...,a_n)\), \(B=(b_1,b_2,...,b_n)^T\). Тогда

\[ AB=a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n=\sum _{m=1}^na_mb_m. \quad \quad(9) \]

Для того, чтобы было определено умножение между \(A\) и \(B\), необходимо, чтобы длина строки была равна длине столбца. Это условие называют условием согласования типов. Формулу (9) называют правилом умножения строчки на столбец.

Теперь обсудим общий случай. Пусть матрица \(A\) имеет тип \((m,n)\), а матрица \(B\) имеет тип \((n,p)\) (так что длина строки матрицы \(A\) совпадает с длиной столбца матрицы \(B\)). Тогда можно определить их произведение, матрицу \(C\), следующим образом: матрица \(C\) будет иметь тип \((m,p)\), причем для вычисления ее элемента \(C_{ik}\), \(1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq p\), следует взять строку с номером \(i\) матрицы \(A\) и умножить на столбец с номером \(k\) матрицы \(B\), \[ c_{ik}=a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+...+a_{in}b_{nk}=\sum _{m=1}^na_{im}b_{mk}. \] Таким образом следует вычислить все \(mp\) элементов матрицы \(C\). Еще раз подчеркнем, что для того, чтобы можно было перемножать матрицы \(A\) и \(B\), их типы должны быть согласованы!

Пример. Пусть \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end{array} \right) , B=\left( \begin{array}{cc} 2 &1 \\ 1 & 3 \\ -3 &5 \end{array} \right) . \]

В данном случае матрица \(A\) имеет тип (2,3), матрица \(B\) имеет тип (3,2), так что типы матриц согласнованы и в результате умножения \(A\) на \(B\) получим матрицу типа \((2,2)\). Получаем: \[ AB=\left ( \begin{array}{cc} 1\cdot 2 +4 \cdot 1+(-1)\cdot (-3) & 1\cdot 1 +4 \cdot 3+(-1)\cdot 5\\ 3\cdot 2 +(-6) \cdot 1+7\cdot (-3) &3\cdot 1 +(-6) \cdot 3+7\cdot 5 \end{array} \right )= \left( \begin{array}{cc} 9 & 8\\ -21 & 20 \end{array} \right). \]

Замечание. Для приведенных матриц произведение \(BA\) не определено - типы матриц \(B\) и \(A\)не согласованы. Это отражает общую ситуацию: результат произведения матриц зависит от порядка сомножителей (в отличие от обычной арифметики) - и даже может не существовать для одного выбора порядка сомножителей, существуя для другого.

Элементарные свойства операций с матрицами (продолжение)

Операция умножения матриц также обладает рядом естественных свойств. (Ниже считается, что типы матриц \(A,B\) согласованы, так что их можно перемножать).

1. \((cA)B=A(cB)=cAB\).

2. \((A_1+A_2)B=A_1B+A_2B\).

3. \(A(B_1+B_2)=AB_1+AB_2\).

4. \((AB)C=A(BC)\).

5. \((AB)^T=B^TA^T\).

6. Для квадратных матриц \(A,B\) одного типа \(det(AB)=detA \cdot detB\).

7. Рассмотрим квадратную матрицу порядка \(n\), \(E=diag\{1,1,1,...,1\}\). Такая матрица играет выделенную роль в умножении матриц: для любых матриц \(A,B\) имеем \(EA=A\), \(BE=B\). Матрица \(E\) называется единичной матрицей порядка \(n\). Согласно описанным выше результатам, \(detE=1\).

Обратная матрица

В рамках обычной арифметики обсуждается решение числового уравнения \[ ax=1, \] где \(a\) - заданное число. Если \(a \neq 0\), это уравнение имеет единственное решение, которое обозначается \(x=a^{-1}\) и называется обратным к \(a\) числом.

Пусть \(A\) - заданная квадратная матрица порядка \(n\), можно рассмотреть матричное уравнение \[ AX=E. \quad \quad(10) \]

Определение. Если \(detA \neq 0\), матрица \(A\) называется невырожденной.

Определение. Решение уравнения (\ref{obr}) называется матрицей, обратной \(A\).

Теорема. Для того, чтобы существовала обратная \(A\) матрица, небходимо и достаточно, чтобы матрица \(A\) была невырожденной.

Обратную матрицу обозначают \(A^{-1}\).

Основные свойства обратной матрицы.

1. $$AA^{-1}=A^{-1}A=E.$$

2. $$det(A^{-1})=(detA)^{-1}.$$

3. Если квадратные матрицы порядка \(n\) \(A\) и \(B\) невырождены, то \(AB\) тоже невырождена, у нее существует обратная матрица, причем \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).

4. Для невырожденной квадратной матрицы \(A\) верно: \((A^{-1})^{-1}=A\).

5. Для невырожденной квадратной матрицы \(A\) верно: \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\).

Для вычисления эелементов обратной матрицы существуют явные формулы.

Пусть \(A\) - квадратная невырожденная матрица порядка \(n\). Вычислим матрицу \(D\) - матрицу алгебраических дополнений, согласно соотношениям

\[ D_{ik}=(-1)^{i+k}det(\widetilde{A}_{ik}), 1 \leq i,k \leq n, \quad \quad(11) \]

где \(\widetilde{A}_{ik} \)- матрица, которая получается из матрицы \(A\) после вычеркивания \(i\)-ой строки и \(k\)-того столбца. Тогда \[ A^{-1}=\frac{D^T}{detA}. \]

Пример. Пусть \(n=2\), \[ A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right), \] \(detA=ad-bc \neq 0\). Следуя (11), получаем: \[ D=\left( \begin{array}{cc} d & -c \\ -b & a \end{array} \right), \] так что \[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right). \]

Таким образом, для матрицы порядка 2 формулы для обратной матрицы достаточно простые. Для больших порядков формулы становятся существенно более громоздкими.

Матричные уравнения

Матричными уравнениями называются уравнения вида \[ AX=G, \quad \quad(12)\] \[ XB=G, \quad \quad(13)\] \[ AXB=G, \quad \quad(14)\] где матрицы \(A,B,G\) заданы и требуется построить матрицу \(X\). Мы будем здесь считать, что матрицы \(A,B,G\) - квадратные одного порядка. Решение этих уравнений нетрудно построить, если матрицы \(A,B\) невырождены, так что существуют их обратные \(A^{-1}, B^{-1}\). Умножая, например, уравнение (12) слева на матрицу \(A^{-1}\), получаем: \[ A^{-1}(AX)=(A^{-1}A)X=EX=X=A^{-1}G. \] Умножая уравнение (13) справа на \(B^{-1}\), получаем: \[ (XB)B^{-1}=X(BB^{-1})=XE=X=GB^{-1}. \] Аналогично, умножая (14) слева на \(A^{-1}\) и справа на \(B^{-1}\), получим: \[ X=A^{-1}GB^{-1}. \]

Назад

Далее

Следующий раздел